Серии 51—60 для второго года

51 серия. 20 мая 2011, пт

1. Разность двух натуральных чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться 45045?
2. Из трёхзначного числа вычли число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Докажите, что разность делится на 99.
3. В вершинах куба расставлены числа 1, 2, …, 8. Докажите, что есть ребро, цифры на концах которого отличаются не менее, чем на три.
4. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 60 км/ч и возвратился со скоростью 40 км/ч. Какова была средняя скорость его езды?
5. Магараджей называется шахматная фигура, которая может бить и как ферзь, и как конь. 
   a) Сколькими способами можно расположить 4 такие фигуры, не бьющие друг друга, на доске 5×5? 
   б) Можно ли на доске 6×6 расположить пять таких фигур, не бьющих друг друга?
6. Одно и то же натуральное число поделили с остатком на 3, на 12 и на 54. Сумма трёх полученных остатков оказалась равна 39. Докажите, что остаток, полученный при делении на 3, равен 1.
7. Каждый «узел» на тетрадном листе покрашен в зелёный или розовый цвет. Докажите, что найдётся прямоугольник с вершинами, покрашенными в один цвет.