Серии 31—40 для второго года

31 серия. 9 февраля 2011, ср. Разрезание

1. Разрежьте каждую из фигур на рисунке на две равные части.
   
   
2. Разрежьте китайский символ «Инь и Ян» одной линией на две равные части так, чтобы каждая его половинка — белая и чёрная — тоже разрезалась на две равные части.
   
   
3. Четырёхугольник разрезали по диагоналям на четыре треугольника. Оказалось, что все четыре треугольника равны. Верно ли, что четырёхугольник был квадратом?
4. Арбуз разрезали на четыре части и съели. Получилось пять корок. Как такое может быть?
5. Шахматную доску разрезали по клеткам на две части. Известно, что в одной части белых клеток вдвое больше, чем чёрных. Верно ли, что в другой части чёрных клеток вдвое больше, чем белых?
6. На клетчатой бумаге нарисовали прямоугольник и закрасили угловые клетки, а потом разрезали на 4 равные части. Может ли оказаться, что закрашенные клетки встречаются ровно в трёх частях из четырёх?

32 серия. 11 февраля 2011, пт. Голова кругом от квадратов

1. Сколько квадратов можно провести по линиям сетки на рисунке?
        
2. Сколько существует квадратов с вершинами в точках (на другом рисунке)?
3. Нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат площадью: а) 2 клетки; б) 5; в) 8; г) 10; д) 13 клеток.
4. Двузначное число x возвели в квадрат и получили число y. Выяснилось, что если прочесть оба числа задом наперёд, то снова второе будет квадратом первого (но это будут уже другие числа). При этом x не кончается нулём. Найдите хотя бы одно такое x.
5. Придумайте какие-нибудь три верных утверждения вида «Если число даёт остаток … при делении на …, то оно не может быть квадратом».
6. Представьте эти числа в виде суммы двух квадратов (пример: 73=8²+3²): 2; 5; 10; 13; 34; 65; 106; 153.
7. Придумайте число, которое нельзя представить в виде суммы: а) двух квадратов; б) трёх квадратов. (Подсказка: это очень просто.)
8. Придумайте какое-нибудь верное утверждение вида «Если число даёт остаток … при делении на …, то его нельзя представить в виде суммы двух квадратов».

34 серия. 18 февраля 2011, пт

1. Из книги выпал кусок. Первая страница куска имеет номер 387, а номер последней состоит из тех же цифр, но в другом порядке. Сколько страниц в куске?
2. На кружок пришли четыре ученика; их имена — Лена, Женя, Данила и Саша, а фамилии — Ленина, Женин, Даниленко и Сашин. Преподаватель не помнит, кого как зовут. Когда он попросил встать Лену и Ленину, то встали два человека, а когда Женю и Женина, то только один. Установите соответствие между именами и фамилиями.
3. В одном из чёрных углов шахматной доски стоит фигура: а) ферзь; б) слон; в) ладья. Эта фигура не имеет права вставать на белые клетки (хотя может пролетать над ними). Может ли она обойти все чёрные клетки доски, побывав в каждой ровно по одному разу, и вернуться в исходную клетку?
4. В запись натурального числа между какими-то двумя цифрами вставляют ноль. Может ли оно от этого увеличиться: а) в 9 раз; б) в 11 раз?
5. Нарисуйте по клеточкам:     а) восьмиугольник с четырьмя сторонами длиной 1 клетка и четырьмя сторонами длиной 2 клетки;     б) двенадцатиугольник с четырьмя сторонами длиной 1 клетка, четырьмя сторонами длиной 2 клетки и четырьмя сторонами длиной 3 клетки.

35 серия. 25 февраля 2011, пт

1. У прямоугольника большую сторону увеличили, а меньшую — настолько же уменьшили. Докажите, что площадь прямоугольника уменьшилась.
2. Что больше: 95^8·110^8 или 95·96·…·110? (95^8 — это 95 в восьмой степени)
   
3. Квадрат целого числа состоит из 533 цифр. А сколько цифр в самом числе?
4. На плоскости нарисовано 100 точек. Можно ли нарисовать прямоугольник, внутри которого лежат меньше 30 из этих точек, а снаружи — меньше 70? (Считается, что точки на границе прямоугольника не лежат ни внутри, ни снаружи.)
5. На доске 8×8 (клетки не раскрашены) стоят два ферзя. Разрешается один раз разрезать доску а) на две; б) на три; в) на четыре части и, переставив эти части, снова сложить из них доску 8×8. Всегда ли можно добиться того, что ферзи на новой доске будут бить друг друга?
6. Сколько существует чисел от 1 до 1000, у которых произведение цифр равно 13?
7. Прямая покрашена в два цвета (то есть каждая точка прямой покрашена в один из двух цветов). Докажите, что на прямой есть три точки одного цвета, одна из которых лежит точно посредине между двумя другими.

36 серия. 4 марта 2011, пт

1. В клетках таблицы 3×10 (3 строки, 10 столбцов) расставлены крестики и нолики. Докажите, что какие-то два столбца совпадают.
2. Что больше по площади и насколько: заштрихованная часть фигуры (см. рисунок) или незаштрихованная?
   
   
3. Докажите, что 1·2·…·20 больше, чем 21·22·…·30, но меньше, чем 21·22·…·36.
4. На прямой отмечены точки A, B, C, причём AC:BC=7:4. Чему может равняться AB:AC? Найдите все варианты.
5. Ученики 6«А» класса побывали в музее, в парке и в кино. Учитель попросил оценить их по пятибалльной системе каждое из этих мест. Могут ли одновременно выполняться три утверждения: 1) большинству учеников больше понравилось в музее, чем в парке; 2) большинству учеников больше понравилось в парке, чем в кино; 3) большинству учеников больше понравилось в кино, чем в музее?
6. Можно ли так покрыть всю плоскость квадратами, что среди них будут только два одинаковых?
7. В стране 100 городов, и некоторые из них соединены дорогами. Докажите, что:     а) если в стране 98 дорог, то из какого-то города нельзя добраться в какой-то другой город;    б) если в стране 100 дорог, то существуют два таких города, что из одного в другой можно добраться хотя бы двумя способами.

37 серия. 9 марта 2011, ср

1. Можно ли расставить в клетках таблицы а) 5×5; б) 6×6 целые числа так, чтобы их сумма в каждом столбце была чётной, а в каждой строке — нечётной?
2. Сельский гипнотизёр Иван Карпович разводит индюков и кур. Вследствие его экспериментов десятая часть индюков считает себя курами, а десятая часть кур — индюками. Если считать вместе, пятая часть птиц Ивана Карповича считают себя индюками. А какова доля индюков в его хозяйстве на самом деле?
3. Сторона квадрата на рисунке равна 1. Чему равна закрашенная площадь?
   
   
4. Можно ли расставить корабли в морском бое: а) симметрично относительно центра поля; б) симметрично относительно вертикальной оси? (В морском бое на поле 10x10 выставляется 4 однопалубных, 3 двухпалубных, 2 трёхпалубных и 1 четырёхпалубный корабль.)
5. Анечка выписала те из чисел от 1 до 2310, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 11. Докажите, что сумма Аниных чисел делится на 7.
6. 16 команд премьер-лиги сыграли каждая с каждой по матчу. Восемь команд одержали по 8 побед и по 6 раз сыграли вничью, еще семь команд одержали по 2 победы и по 5 раз сыграли вничью. Сколько ничьих у 16-й команды?
7. На доске 8×8 закрашены некоторые клетки, причём в любом прямоугольнике площадью больше 8 закрашено чётное количество клеток. Может ли такое быть?

38 серия. 16 марта 2011, ср

1. Поставьте на доске несколько коней так, чтобы каждый бил ровно двух других. Какое минимальное количество коней для этого нужно?
2. Можно ли на доске а) 8×8; б) 80×80 поставить ферзей, не бьющих друг друга, так, чтобы они держали под боем всю доску? Считаем, что ферзь бьёт клетку, на которой стоит.
3. Бабушка оставила козу пастись на поле: вбила два колышка на расстоянии 10 метров, натянула между ними верёвку, на верёвку надела кольцо, к кольцу привязала поводок длиной 5 метров, а к поводку, наконец, прицепила козу. Вернувшись, бабушка увидела вокруг колышков участок без травы. Нарисуйте этот участок (можно в уменьшенном масштабе). Размерами козы пренебречь.
4. Аня пишет в тетради все буквосочетания, которые можно получить перестановкой букв в слове САЛАТ (включая и исходное слово). Боря делает то же самое для слов: а) АТЛАС; б) ХАЛАТ; в) САЛЮТ. У кого из них получится больше слов и во сколько раз?
5. Факториалом натурального числа n называют произведение n!=1·2·…·(n-1)·n. Что больше: 100! или 1!+2!+3!+…+99! ?
6. Ребята решили подарить 12 девочкам цветы на восьмое марта. Они купили им тюльпаны (всем по равному нечётному количеству). Но на поздравление пришло только 8 девочек. Докажите, что: (а) ребята теперь не смогут раздарить девочкам тюльпаны, подарив каждой по одинаковому нечётному количеству; (б) но если разрешить дарить девочкам разное нечётное количество тюльпанов, то можно раздарить все.

39 серия. 18 марта 2011, пт

1. Существует ли натуральное число, большее единицы, которое не делится ни на одно из чисел от двух до тысячи?
2. Найдите все суммы денег, которые можно заплатить одной российской монетой, можно двумя, можно тремя, а можно — четырьмя.
3. У нумизмата Феди есть монеты диаметром не больше 10 см, которые лежат в коробке 30×70 см (в один слой). Феде подарили монету диаметром 25 см. Докажите, что теперь все монеты поместятся в коробку 55×55 см.
4. Двое братьев работают в одной фирме. Каждый день за хорошую работу они получают 7 тугриков, за плохую — 3. За несколько дней один из братьев получил (а) 21 тугрик; (б) 19 тугриков; (в) 47 тугриков. Какое наибольшее и наименьшее количество тугриков мог получить за то же время второй брат?
5. 16 шестиклассников играют в шашки. Докажите, что в любой момент найдутся два шестиклассника, сыгравшие к этому моменту одинаковое количество матчей.
6. На заседании по делу об украденной муке Мартовский Заяц заявил, что вор — Болванщик. Болванщик и Соня тоже дали показания, которые, однако, не были записаны. Позже выяснилось, что муку украл лишь один из троих, и лишь он дал правдивые показания. Кто украл муку?
7. Можно ли разрезать доску 10×10 (а) на L-тетрамино; (б) на T-тетрамино?

40 серия. 6 апреля 2011, ср

1. У Коли есть несколько разных флажков. Флажки состоят из трёх горизонтальных полосок; каждая полоска может быть красной, зелёной или синей; некоторые, в том числе соседние, полоски могут быть одинакового цвета. Флаги «СЗК» и «КЗС» считаем разными. К Коле подходит дальтоник Толя, который не различает красный и зелёный цвета. «На мой взгляд, они все у тебя одинаковые»,— мрачно произносит Толя. Какое максимальное количество флажков может быть у Коли?
2. Пусть у Коли 13 попарно различных флажков. Сколько типов флажков может оказаться среди них с точки зрения Толи? Найдите минимальное и максимальное значения.
3. Петя рисует циркулем окружности на листе 20×30 см. Первая его окружность имеет диаметр 1 см, а дальше он рисует окружности по такому правилу: центр каждой новой окружности лежит на предыдущей, а сама новая окружность не пересекается с предыдущей. Какое максимальное количество окружностей может поместиться на лист?
4. Дима диктует Егору чей-то семизначный телефон. Чтобы проверить, правильно ли Егор его записал, они оба считают сумму цифр номера. Известно, что сумма цифр у них совпала. Мог ли Егор ошибиться ровно в одной цифре?
5. А если в предыдущей задаче вместо суммы цифр использовать произведение цифр?
6. «Скоро уже электричка»,— подумал Андрей, выходя из дома,— «Если я пойду на станцию со скоростью 4 км/ч, то опоздаю на три минуты. Зато если идти со скоростью 6 км/ч, то останется три лишних минуты, чтобы купить билет». На каком расстоянии станция находится от дома?
7. Паша собрал из двух плоских фигурок прямоугольник 12×3, а Маша из тех же фигурок — (а) квадрат 6×6; (б) прямоугольник 9×4. Придумайте, как могли выглядеть эти фигуры.