Серии 41—50 для второго года

41 серия. 8 апреля 2011, пт

1. Докажите, что 2009! + 2010! делится на 2011.
2. В стране X треть знающих английский знают французский, а половина знающих французский знают английский. Какой язык знает больше жителей и во сколько раз?
3. Четыре ладьи бьют все чёрные клетки шахматной доски (поле, на котором стоит ладья, тоже считается битым этой ладьёй). Докажите, что ладьи стоят на белых клетках.
4. Может ли трёхзначное число быть (а) на 275; (б) на 300; (в) на 360 больше суммы своих цифр?
5. Имеется 32 камня, любые два камня имеют разный вес.  Как за 35 взвешиваний на чашечных весах без гирь определить самый тяжелый и второй по весу камень?
6. У четырёх ребят в кружке в сумме имеется 99 плюсиков в протоколе. Два человека  могут образовать команду на олимпиаду, только если у них в сумме не менее 50 плюсиков. Сколько есть способов у руководителя образовать команду из двух человек?

42 серия. 15 апреля 2011, пт

1. Вася вырезал из картона треугольник, разрезал его на два треугольника и послал обе части Пете, который также сложил из них треугольник. Верно ли, что Петин треугольник обязательно равен Васиному?
2. Найдите наименьшее составное число, которое не делится ни на одно из натуральных чисел от двух до десяти.
3. В ряд выложили несколько апельсинов, мандаринов, яблок и груш. Известно, что рядом с фруктом каждого вида можно найти фрукт любого другого вида. Какое наименьшее количество фруктов могло быть выложено?
4. Для окраски одной грани кубика требуется 5 с. За какое наименьшее время  3 человека  могут выкрасить 188 кубиков? (Предполагается, что два человека не могут одновременно красить один кубик.)
5. Вера и Аня посещают математический кружок, в котором больше 91% мальчиков. Может ли в  кружке быть меньше, чем 21 мальчик?
6. Как из шахматной доски по клеточкам вырезать 12 доминошек так, чтобы из оставшейся части доски нельзя было бы вырезать прямоугольник 1х3?
7. Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна нечётная цифра?

43 серия. 20 апреля 2011, ср

1. В квадрате 10x10 расставлены числа от 1 до 100. За ход разрешается одно число заменить на среднее арифметическое его соседей и его самого. Может ли через несколько ходов появиться в таблице число 101?
2. Из пятерых детей некоторые всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. Серёжа сказал Никите, а потом Вите: «Ты правдивый парень». После этого он сказал Саше, а затем Паше: «Ты лгун!». Кем (правдивым или лгуном) назвал бы каждого из остальных детей Паша?
3. Разрежьте круг несколькими прямыми на 16 квадратов и 16 неквадратов.
4. Сумма двух натуральных чисел равна 1000. Может ли их произведение равняться 443322?
5. Средний рост восьми баскетболистов равен 195 см. Какое наибольшее количество из этих игроков может быть ниже, чем 191 см?
6. Программист Валера придумал новую игру: компьютер показывает какое-нибудь четырехзначное число. Затем игрок приводит число, имеющее не более 4 знаков, которое в сумме с числом компьютера дает число, записываемое только цифрами 1 и 6. Игрок старается придумать как можно больше таких чисел и за каждое из них получает очко. Какое наибольшее число очков может заработать игрок? Зависит ли это от того, какое число высветилось на экране?

44 серия. 22 апреля 2011, пт

1. Внуку столько же месяцев, сколько лет бабушке. Вместе им 52 года. Сколько лет бабушке?
2. Найдите все решения ребуса Б + БЕЕЕ = МУУУ.
3. В стране 2011 городов, из всех кроме двух выходит по 1000 дорог, а из этих двух выходит по 2011. Путешественник Саша прошёл по все дорогам по одному разу. Докажите, что он начал путешествие из одного из тех двух городов.
4. У малыша Димы есть 4 игральных кубика — красный, жёлтый, зелёный и синий. Он решил бросить их все одновременно, но перед этим посчитать, каких вариантов больше: с хотя бы одной «двойкой» наверху или без «двоек» наверху. Помогите ребёнку ответить на этот вопрос.
5. На одном конце клетчатой полоски из 25 клеток стоит шашка Первого Игрока, а на другом – Второго. Игроки по очереди двигают свою шашку на 1, 2, 3 или 4 клетки в любом направлении. Прыгать через вражескую шашку нельзя. Проигрывает тот, кто не может походить. Придумайте выигрышную стратегию для Первого или Второго Игрока.
6. Саша хочет разрезать доску 100×100 по клеточкам на n прямоугольников. Верно ли, что это можно сделать для любого n от 1 до 10000?
7. Код замка представляет собой слово (не обязательно осмысленное) из 4 букв. Каждое из слов икра, ирак, рика получено из правильного кода перестановкой каких-то двух букв. Каким мог быть правильный код?

45 серия. 27 апреля 2011, ср

1. Не вычисляя суммы 1+2+…+2011, определите её чётность.
2. На секретном складе есть гвозди,  упакованные в ящики по 12, 19 и 40 килограммов (ящиков каждого вида по 100 штук).  Два похитителя несут несколько полных ящиков гвоздей — у каждого по 100 кг. Верно ли, что у них одинаковое количество ящиков?
3. Два будильника (с циферблатом и стрелкой) показывают 12 часов. Первый спешит на 8 минут в сутки, второй отстает на 4 минуты в сутки. Через какое время в следующий раз они покажут одновременно 12 часов?
4. В 2002 году завод по производству игрушек выпустил 89600 плюшевых слонов. После этого каждый год выпуск слонов увеличивался на 25%. Как долго это могло продолжаться?
5. Из числа 2009 вычли наименьший из его делителей, больших 1. Из полученной разности также вычли наименьший из её делителей, больших 1, и т.д., пока не получился 0. Сколько всего вычитаний было проделано?
6. Назовём клетчатый прямоугольник просторным, если на нём могут поместиться ферзь, ладья и конь, не бьющие друг друга. Какое минимальное количество клеток может быть в просторном прямоугольнике?
7. Какой цифрой заканчивается сумма 1!+2!+3!+…+40! ?

46 серия. 29 апреля 2011, пт

1. Грузовик едет со скоростью 65 км/ч, а за ним едет легковой автомобиль — со скоростью 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга эти автомобили будут через две минуты после того, как легковой автомобиль догонит грузовик?
2. Покажите, как разрезать произвольный прямоугольник на три части и сложить из них неравнобедренный треугольник.
3. В архипелаге каждый остров соединён мостом ровно с семью другими. Сколько в этом архипелаге островов, если мостов — 84?
4. Используя только цифры 1 и 7 (каждую из них — не более четырёх раз), знаки арифметических действий и скобки, составьте выражение, значение которого равно 2006.
5. Точка В лежит на отрезке АС, причём AB = 2 см, BC = 1 см. На прямой АВ укажите все такие точки М, для которых AM + BM = CM.
6. Женя и Антон учатся в одном классе. У Антона одноклассников вчетверо больше, чем одноклассниц. А у Жени одноклассниц на 17 меньше, чем одноклассников. Кто Женя: девочка или мальчик?
7. Каждый из двух мальчиков, Ваня и Витя, задумал по натуральному числу, возвёл его в куб и вычел задуманное им число. Полученные ими разности оказались одинаковыми. Могло ли так случиться, что Ваня и Витя задумали различные числа?
8. Можно ли разрезать произвольный треугольник на 10 треугольников так, чтобы никакие два из них не имели общей стороны?

47 серия. 4 мая 2011, ср

1. На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса?
2. Можно ли гирьки весами 1, …, 2009 граммов разбить на три кучки равного веса?
3. Сколько существует вариантов расстановки трёх ладей на шахматной доске, при условии, что одна из них бьёт двух других?
4. Как разложить по 7 кошелькам 127 рублёвых монет так, чтобы любую сумму (в рублях) от 1 до 127 рублей можно было выдать не открывая кошельки?
5. Магический квадрат 3х3 составлен из различных натуральных чисел. (У него суммы по строкам равны суммам по столбцам и равны суммам по двум главным диагоналям). Сумма всех чисел в квадрате равна 135. Придумайте хотя бы один такой квадрат.
6. По кругу расставлены 100 чисел +1 и -1. Для каждого числа подсчитывают произведение 50 чисел, следующих за ним по часовой стрелке. Затем исходные числа стирают, а вместо них записывают вычисленные произведения. Докажите, что после многократного повторения этой операции все числа станут единицами.
7. Докажите, что из простого числа, большего 1000, можно вычеркнуть одну или две цифры так, чтобы получилось составное число.
8. В некотором государстве любые два города соединены воздушным или водным путем. Докажите, что из любого города в любой можно добраться по воде или из любого города в любой можно добраться по воздуху.

48 серия. 6 мая 2011, пт

1. Можно ли выстроить числа от 1 до 100 в ряд (используя каждое по одному разу) так, чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была нечётной?
2. На математическом конкурсе было предложено несколько простых и несколько сложных задач. Участнику давали 3 очка за решение сложной задачи и 2 очка за решение простой задачи. За каждую нерешённую простую задачу списывалось очко. Рома решил 10 задач и набрал 14 очков. Сколько было простых задач?
3. Составьте семь трёхзначных чисел, состоящих из различных цифр, так, чтобы любые два числа имели ровно одну общую цифру (не обязательно на одном и том же месте).
4. В ряд выписали числа от 2 до 100 (по порядку) и расставили между ними знаки + и * так, что никакие два плюса не стоят подряд. Может ли результат быть равен 999999?
5. Вера сказала, что сможет поставить по натуральному числу в каждую клетку квадрата 3x3 так, чтобы сумма любых двух чисел, стоящих в соседних по стороне клетках, делилась бы на 12345. «Посмотрим», — сказала её сестра Алёна и нарисовала ей такой маленький квадрат, что в каждой клеточке помещалось не более четырёх цифр. Сможет ли Вера выполнить своё намерение?
6. В деревню Перестрелкино приехали на разборку 533 весёлых киллера. Весёлый киллер, убивший другого весёлого киллера, становится грустным и больше не веселеет. Через день на место разборок приехала милиция и обнаружила 532 убитых, из которых ровно половина была с грустными лицами, а остальные — с весёлыми. В каком настроении находится оставшийся киллер?

49 серия. 13 мая 2011, пт

1. A, B, C — натуральные числа. Докажите, что числа 5A+121B+19C и 148A-35B+110C дают одинаковые остатки от деления на 13.
2. Есть 5 горшочков с конфетами. Может ли быть так, что в любых двух горшочках больше двухсот конфет, а в любых трёх меньше трёхсот?
3. Шумахер убегает от тигра, кружа вокруг стадиона. За первый час Шумахер обогнал тигра на три круга, после чего увеличил скорость на 1 км/ч, и за второй час обогнал тигра на четыре круга. Найдите длину круга.
4. На доске 3x10 стоят белая ладья и чёрный слон, которые ходят по очереди по шахматным правилам. Доказать, что ладья может взять слона.
5. Верно ли, что если число делится на все числа от 2 до 5, то оно делится и на произведение этих чисел (т.е. на 120)?
6. У Димы есть набор из косых тетрамино, квадратиков 2x2 и уголков из трёх клеток. Он составил квадратик 7x7. Докажите, что была использована только одна 4-клеточная фигурка.
7. Шестеро друзей прогуляли урок. Когда их спросили, кому пришла в голову эта идея, каждый из них сказал «Не мне». Под давлением учителя трое добавили, что идея пришла в голову Боре, двое — что Глебу, а один — что Кате. В итоге разбирательства выяснилось, что среди этих 12 утверждений только половина – правда. Кто из учеников был инициатором прогула?

50 серия. 18 мая 2011, ср

1. У Миши и Маши есть два натуральных числа a и b. Миша посчитал их произведение, а Маша записала их подряд. Может ли Машин результат быть меньше Мишиного?
2. Найдите последнюю цифру числа 3²⁰¹².
3. а) Маша и Миша вошли в автобус и купили два билета с последовательными номерами. Может ли сумма цифр на каждом из билетов делиться на 5?  б) А если они ехали вместе с Гришей и купили не два, а три билета?
4. Клетки тетрадного листка раскрашены в шесть цветов. Докажите, что найдётся L-тетрамино, в котором есть две клетки одного цвета.
5. Клетки тетрадного листа покрашены в восемь цветов. Верно ли, что найдётся тетрамино (какой-нибудь формы), в котором есть две клетки одного цвета?
6. Разность двух натуральных чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться 45045?
7. Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи»?