Серии 11—20 для второго года

12 серия (воспоминания). 10 ноября 2010, ср

1. Кузнечик умеет прыгать по клетчатой полоске на 7 или 9 клеток в любую сторону. Сейчас он находится в клетке с номером 0. Докажите, что кузнечик может попасть в любую клетку.
2. Кенгуру умеет прыгать по клетчатой полоске на 6 или 8 клеток в любую сторону. Сейчас он находится в клетке с номером 0. Укажите какую-нибудь клетку, в которую кенгуру не сможет попасть.
3. Бармаглот умеет прыгать по клетчатой полоске (а) на 3 или 8; (б) на 5 или 10; (в) на 9 или 15 клеток в любую сторону. Сейчас он находится в клетке с номером 0. Верно ли, что он может попасть в любую клетку?
4. Ипподром состоит из ста клеток с номерами от 0 до 99, расположенных по кругу. Лошадь умеет прыгать (а) на 3 или 8; (б) на 5 или 10; (в) на 9 или 15 клеток в любую сторону. Сейчас она находится в клетке с номером 0. Догадайтесь, какой вопрос в задаче, и ответьте на него.
5. Из чисел от 1 до 50 выбрали 26 чисел. Может ли оказаться, что среди них нет чисел, различающихся: (а) на 1; (б) на 2; (в) на 3; (г) на 5?
6. У Васи папа — кондуктор, поэтому у него есть билеты с номерами от 000001 до 300000. Папа даёт Васе один из этих билетов. После этого Вася заменяет все нули в номере билета на единицы, все единицы — на двойки, все двойки — на тройки, …, все восьмёрки — на девятки, а все девятки — на нули. Сколько всего разных чисел может получить Вася таким способом? Какое из них самое большое? А самое маленькое?
7. Каких чисел больше среди чисел от 1 до 300000: тех, в записи которых есть подряд идущие цифры 23, или тех, в которых 34?
8. В вершинах (а) пятиугольника; (б) шестиугольника расставлены числа: в одной вершине — ноль, в остальных — единицы. За один ход разрешается выбрать любую сторону и прибавить к обеим числам, стоящим в её концах, по единице. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали равными?

15 серия (денежная). 19 ноября 2010, пт

1. Одна купюра лежит на другой (см. рисунок). Какая часть нижней купюры больше — открытая или закрытая?
   
2. У монеток в 1, 2, … 7 тугриков диаметры увеличиваются вместе с достоинством. У Пети есть по одной монетке каждого вида, и он строит из них пирамидку (не обязательно из всех). Он хочет, чтобы сверху монетки были всегда меньше, чем снизу, и чтобы в пирамидке было хотя бы две монетки. Сколько способов построить такую пирамидку?
3. Сумму в 6 копеек можно набрать двумя способами: 5+1 и 1+1+1+1+1+1. Сколько способов набрать сумму: а) 10 копеек; б) 25 копеек; в) 90 копеек?
4. Какую сумму можно набрать бо́льшим количеством способов: а) 8 р. 46 к. или 8 р. 49 к.? б) 8 р. 49 к. или 8 р. 51 к.?
5. У советских медных монеток в 1, 2, 3, 5 копеек масса равнялась 1, 2, 3, 5 граммам. Пусть у нас есть двухкопеечная, пятикопеечная монета и чашечные весы. Нам дают груз, масса которого в граммах — целое число от 1 до 8. Как взвесить этот грузик?
6. У купюры в 100 и 1000 тугриков ширина вдвое меньше длины, но купюра в 100 тугриков немного меньше, чем в тысячу. Положите на тысячетугриковую купюру 11 стотугриковых так, чтобы «сотни» не перекрывались, а каждая «сотня» накрывала часть «тысячи».
7. а) Товар позавчера стоил 100 рублей, вчера подорожал на 20%, а сегодня снова подешевел на 20%. Насколько и в какую сторону изменилась цена за два дня?
   б) А если товар вчера подешевел на 20%, а сегодня подорожал на 20%?

17 серия

1. Какое максимальное число фотографий 3x4 можно разместить на листе 10x15? (Нельзя, чтобы фотографии наползали друг на друга или выползали с листа.)
2. (а) Расставьте числа от 1 до 12 в таблице 3х4 так, чтобы сумма чисел в любой строке и сумма чисел в любом столбце делилась на 3. (б) Сделайте то же самое для чисел от 1 до 15 в таблице 3х5.
3. (а) Можно ли разбить числа от 1 до 24 на пары так, чтобы сумма в каждой паре была квадратом какого-нибудь целого числа? (б) А числа от 1 до 16? (в) А числа от 1 до 6?
4. Приведите пример двузначного числа, у которого произведение цифр, умноженное на сумму цифр, равно 84.
5. У Андрея Аркадьевича всегда при себе есть 100 палочек. Длина каждой палочки – 1 или 3 см. Докажите, что сломав не более одной палочки (на две не обязательно равных части), Андрей Аркадьевич сможет из всех полученных палочек сложить прямоугольник
6. Составьте из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 три трехзначных числа так, чтобы сумма двух чисел равнялась третьему и при этом у одного из этих чисел цифра десятков была равна 8. (Каждая цифра используется ровно по одному разу)
7. Голодные Малыш и Карлсон съели тор и стали сытыми. Известно, что голодный Карлсон весит столько же, сколько два голодных Малыша. Что весит больше: торт или голодный Малыш? (тут пропущена какая-то строчка)

18 серия. 8 декабря 2010, ср

1. а) Сейчас, пока вы решаете эту серию, Антон Валерьевич расставляет по кругу красные и синие фишки. За каждую пару рядом стоящих фишек разного цвета он получает бонус. Может ли он получить ровно 533 бонуса?
   б) А если фишки красные, синие и зелёные?
2. Между числами 1, 2, …9 поставьте плюсы и минусы так, чтоб получилось число 1.
3. Фарит увлечённо вырезает из листа 10×15 прямоугольники 3×4. Когда Фарит на пару секунд отвернулся, Ильдар успел назло ему закрасить пять прямоугольников 3×4 (по клеточкам). «Ну что же ты сделал»,— сказал ему Фарит, — «теперь я не могу вырезать ни одного чистого прямоугольника 3×4». Придумайте, какие прямоугольники Ильдар мог закрасить.
4. Мог ли в предыдущей задаче Ильдар обойтись четырьмя прямоугольниками?
5. Из Катиной прямоугольной доски площадью 150 клеток можно вырезать прямоугольник 3×4, но 12 таких прямоугольников вырезать нельзя. Возможно ли такое?
6. Два мальчика по прозвищу Васнецов и Репин по очереди рисуют картины размером 3×4 на листе 10×15. При этом они не залезают на уже нарисованные картины. Каждый из них хочет, чтобы именно его картина оказалась последней из нарисованных. Первым ходом Васнецов нарисовал свою картину в центре листа. Докажите, что теперь Васнецов может добиться победы при любых действиях Репина.
7. Можно ли разрезать на домики  : а) удвоенный домик , состоящий из пяти квадратов 2×2; б) утроенный; в) учетверённый; г) удесятерённый домик? Домики можно поворачивать и переворачивать.

19 серия

1. В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только весы без стрелки, отмерить 9 кг гвоздей?
2. 25 Антонов и 25 Андреев сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа – Андреи.
3. Есть две страны. Однажды из одной страны в другую переехало несколько граждан. Могло ли при этом получиться так, что средний IQ в обеих странах увеличился?
4. Дан правильный треугольник. (а) Сколько нужно меньших правильных треугольников, чтобы покрыть его? (б) А сколько, если накрывающие треугольники не могут перекрываться?
5. Решите в натуральных числах уравнение  xy = x +y + 7
6. Найдите все натуральные числа, у которых нечетное количество делителей
7. 25 шаров выглядят одинаково, но один из них чуть легче остальных. Вася хочет провести одно взвешивание так, чтобы заведомо определить 16 настоящих шаров. Сможет ли он это сделать? б) Сможет ли он провести взвешивание так, чтобы суметь определить 17 настоящих шаров?

20 серия. 15 декабря 2010, ср

1. Сколькими способами можно разрезать правильный 11-угольник на 2 равные части (одной прямой)?
2. Сколько существует чисел вида ?4825?6744?735 делящихся на 3?
3. Делится ли число 17·21·37·41·53·61·73 - 81·999·109·111 на 10?
4. Коня научили ходить на N клеток по прямой, а потом N+2 в любою сторону в бок. Может ли он обойти всю доску? (N – любое, конь сам выбирает перед каждым ходом)
5. Можно ли разрезать прямоугольник 5х7 на угловые тетрамино так, чтоб остались а) 2 подряд идущие по диагонали клетки б) 3 подряд идущие по диагонали клетки?
6. На столе стоит пять коробок. В первой — одна бусинка, во второй — две, …, в пятой — пять. Первым ходом можно положить в любую коробку или вытащить из нее 1 бусинку, вторым — положить или вытащить 2 бусинки (из той же или другой коробки), третьим — 3, и так далее. Можно ли за несколько ходов сделать так, чтобы в первой коробке было 98 бусинок, во второй — 99, …, в пятой — 102?
7. Существует ли кратное 7 натуральное десятизначное число, все цифры которого различны?