Серии 21—30 для второго года

21 серия. 17 декабря 2010, пт

1. Вася разрезал квадрат на два прямоугольника, потом один из полученных прямоугольников — ещё на два и так далее. В какой-то момент он обнаружил, что у всех прямоугольников одинаковая площадь. Правда ли, что тогда какие-то два прямоугольника совсем одинаковые?
2. Сосульку длиной 396 метров разрезали на несколько сосулек поменьше, причём их длины — попарно различные целые числа (то есть все разные). Какое максимальное количество сосулек могло получиться?
3. Вася выписал все числа от одного до миллиона, которые можно представить в виде суммы квадрата какого-то натурального числа и куба какого-то натурального числа. Ответьте, он выписал больше 250000 чисел или меньше?
4. На шахматной доске размером 3×3 проведена окружность. Какое наибольшее количество клеток она может пересекать?
5. В числе переставили цифры и получили число в 3 раза меньше исходного. Докажите, что исходное число делилось на 27.
6. Пусть x, y — целые числа. Докажите, что 6x + 11y кратно 31 тогда и только тогда, когда x + 7y кратно 31.
7. В клетки таблицы 3 x 3 записывают числа 1 или –1. Затем число в каждой клетке заменяется на произведение чисел, стоящих во всех соседних клетках. Докажите, что после нескольких повторений этой операции во всех клетках таблицы будут стоять единицы.

22 серия. 24 декабря 2010, пт

1. В компании из пяти мальчиков каждый имеет хотя бы двух братьев. Докажите, что все пятеро — братья.
2. Докажите, что среди степеней двойки есть две, разность которых делится на 2010.
3. Женя купила 17 яблок общей массой 1,5 кг. Всегда ли она сможет найти среди них 6 яблок, общая масса которых меньше 0,55 кг?
4. Можно ли числа от 1 до 100 выписать в ряд так, чтобы разность любых соседних (из большего вычитают меньшее) была не меньше 50?
5. Из холодного крана таз наполняется за 1 минуту, а из горячего — за 1,5 минуты. Я включил горячую воду. Через сколько секунд я должен включить холодную, чтобы к моменту наполнения в тазу оказалось поровну горячей и холодной воды?
6. За круглым столом сидят 7 человек — рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Все семеро по очереди произнесли фразу: «Оба моих соседа — лжецы». Сколько рыцарей за столом?
7. Есть 21 бочка, из которых 7 пустых, 7 полных кваса, а 7 наполнены квасом ровно наполовину. Разделите их между тремя людьми так, чтобы каждому досталось поровну и бочек, и кваса.

23 серия. 29 декабря 2010, ср

1. В таблице 7×10 расставлены числа так, что во всех столбцах сумма равна 20. Известно, что во всех строках суммы тоже равны. Найдите их.
2. Решите числовой ребус: АХ + УХ = УРА
3. Полный бидон с молоком весит 20 кг, а бидон, наполненный молоком наполовину, весит 14 кг. Сколько будет весить бидон, если его наполнить молоком на треть?
4. Вася хочет нарисовать такой прямоугольный треугольник, который можно разрезать на 10 одинаковых прямоугольных треугольников. Помогите Васе это сделать.
5. На доску 5×5 Вася хочет поставить сколько-то королей и еще сколько-то коней так, чтобы ни одна фигура не била никакую другую. Какое наибольшее число фигур ему удастся расставить, если на доске должен стоять хотя бы один король и хотя бы один конь?
6. Боря сложил все чётные натуральные числа, не превосходящие 2011, а Катя — все нечетные. У кого из них получилась сумма больше и на сколько?
7. У какого количества четырехзначных чисел сумма первых двух цифр равна сумме следующих двух цифр и равна 9?

24 серия. 14 января 2011, пт

1. Есть несколько карточек с цифрами. Маша составила из всех этих карточек несколько чисел и сложила их; у неё получилось 2010. Миша составил из тех же карточек другие числа, сложил их и получил 2011. Верно ли, что хотя бы один из них ошибся?
2. Коля говорит: «В нашей сельской школе учится меньше 100 человек, и у каждого из них ровно 6 тёзок и ровно 14 однофамильцев». А может ли такое быть?
3. У Дениса есть три целых числа, кратных трём. Верно ли, что их среднее арифметическое: а) целое; б) кратно трём?
4. Можно ли выписать числа от 1 до 5 в ряд так, что из любых трёх подряд идущих чисел какое-то одно равно сумме двух других? Каждое число надо использовать ровно один раз.
5. Можно ли выписать числа от 1 до 10 по кругу так, что из любых трёх подряд идущих чисел какое-то одно равно сумме двух других?
6. Павел прибавил к простому числу 9 и снова получил простое число. Что у него получилось?
7. На шахматной доске стоят несколько шашек. Докажите, что найдётся «крест»,  в котором стоит нечётное число шашек.

25 серия. 19 января 2011, ср

1. У вас есть лента длиной 2/3 метра. Как, не производя измерений, отрезать от неё ровно полметра?
2. Как-то раз Саша сказал: «Позавчера мне было 10 лет, а в будущем году будет 13». И это было правдой. В какой день могла быть сказана эта фраза?
3. В каком-то месяце три воскресенья пришлись на чётные числа. А каким днём недели было 19-е число?
4. Из квадрата размером (а) 4x4; (б) 32x32 вырезали угловую клетку. Докажите, что оставшуюся часть можно разрезать на трёхклеточные уголки.
5. В ряд выстроились 100 человек — рыцари и лжецы. Каждый из них сказал: «слева от меня рыцарей меньше, чем справа». Сколько среди них рыцарей?
6. В ряд выстроились 100 человек — рыцари и лжецы. Каждый из них сказал: «слева от меня лжецов меньше, чем справа». Сколько среди них рыцарей?
7. Вася говорит, что нашёл точный квадрат, запись которого состоит  только из двоек, троек и восьмёрок. Не ошибся ли он?
8. Решите английский ребус ONE+TWO+FIVE=EIGHT.

26 серия. 21 января 2011, пт

1. Три друга ежедневно покупали на завтрак бананы и апельсины, причём каждый привык съедать определённое их количество. В одно прекрасное утро они обнаружили, что апельсины подорожали в 5 раз, а бананы — в 10 раз; но изменять своей привычке друзья не стали. Вова заплатил за 3 апельсина и 3 банана в 7 раз больше обычного. Во сколько раз подорожал Сашин завтрак, состоящий из 4 апельсинов и 9 бананов?
2. На рисунке изображён квадрат и указаны длины двух отрезков. Площадь каждого из заштрихованных прямоугольников равна 20. Найдите площадь внутреннего прямоугольника.
   
   
3. У ромашки 8 лепестков. Расставьте на лепестках 8 различных натуральных чисел, не превосходящих 25, так, чтобы разность чисел на соседних лепестках равнялась либо 5, либо 7.
4. На плоскости нарисованы круг и прямоугольник. Докажите, что можно провести прямую так, что она разрежет и круг, и прямоугольник на две равные части.
5. Сколькими способами можно закрасить в квадрате 10×10: а) домино; б) угловое тримино?
6. После смерти боги покарали Сизифа так: они заставили его записать целое число, названное Зевсом, а потом приписывать к нему справа тройки до тех пор, пока оно не станет делиться на 7. Может ли Зевс сделать так, чтобы Сизиф никогда не достиг цели?

27 серия. 28 января 2011, пт

1. Барон Мюнхгаузен охотится на уток. Начиная с 1 августа 2010 года он ежедневно говорил своему повару: «Сегодня я подбил больше уток, чем два дня назад, но меньше, чем неделю назад». Какое максимальное количество дней это могло продолжаться?
2. На окружности расположены 2010 синих точек и одна красная. Рассмотрим всевозможные многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше: с красной вершиной или без неё?
3. Задумано трёхзначное число, у которого с любым из чисел 543, 142 и 562 совпадает один из разрядов, а другие два не совпадают. Что это за число?
4. Второкласснице Тане задали на дом выразить в секундах некое целое количество часов. Придя в школу, она обнаружила, что две цифры в её ответе расползлись в кляксы: 234*2*0. При этом она забыла, каким было количество часов. Что она должна написать вместо клякс?
5. Может ли какая-нибудь степень двойки содержать в своей записи поровну нулей, единиц, двоек, ..., девяток?
6. Петя загадал два простых числа, сумма и разность которых — тоже простые. Что это за числа?

28 серия. 26 января 2011, ср

1. Разрежьте квадрат на 5 частей так, чтобы первая часть имела одну соседнюю, вторая — две, третья — три, четвёртая — четыре, а пятая — сколько вам угодно.
2. Чему может равняться «сколько угодно» из предыдущей задачи?
3. У Александра Марковича есть купюры достоинством в 10, 50, 100, 500, 1000, 5000 рублей — по одной купюре разного вида. Сколько разных (отличных от нуля) сумм можно набрать с помощью этих купюр?
4. Решите английский ребус ONE+TWO+FIVE=EIGHT.
5. На шахматной доске стоят несколько шашек. Докажите, что найдётся «крест»,  в котором стоит нечётное число шашек.
6. Пусть x, y — целые числа. Докажите, что 6x + 11y кратно 31 тогда и только тогда, когда x + 7y кратно 31.

29 серия. 2 февраля 2011, ср

1. Осьминог Пауль хочет придумать шесть натуральных чисел так, чтобы разность любых двух из этих чисел не делилась на 5. Может ли он добиться успеха?
2. Имеются две красные, две желтые и две зеленые гири. Одна гиря каждого цвета тяжелая, а другая легкая. Все тяжелые гири весят одинаково и все легкие гири весят одинаково. За два взвешивания на чашечных весах определите тяжёлые гири.
3. Зловредное дерево опутало корнями весь садовый участок. Садовник Антон и физик Андрей решили спасти сад от такой неприятности и начали изводить растение. При этом садовник Антон разрубал каждый попадающийся ему кусок растения на 7 частей, а физик Андрей — на 10. Могло ли через пару часов оказаться 2010 кусочков дерева?
4. Какое наименьшее число клеток нужно закрасить черной краской на белом квадрате 6х6, чтобы из него нельзя было вырезать ни одного белого уголка из трех клеток?
5. В классе Вася дружит с 10 девочками, Петя — с 12. Любые 4 девочки дружат со всеми мальчиками класса. Сколько девочек может быть в классе?
6. В шеренге стоят 10 человек, рыцарей или лжецов. Каждый из них сказал: «Справа от меня ровно 3 лжеца». Сколько лжецов в шеренге может быть?
7. Знайка положил на счет в банке 3 рубля. Каждый день на его счет добавляется количество рублей, равное сумме цифр текущего счета. Когда Вася пришел забирать вклад, ему выдали ровно 1000 рублей. Докажите, что его обсчитали.