Серии 1—10 для второго года

1 серия (обо всём)

1. Можно ли разрезать квадрат на (а) 4, (б) 9, (в) 2, (г) 6, (д) 8, (е) 10, (ж) 3 квадрата?
2. Вдоль забора растут 8 кустов малины. На соседних кустах количество ягод отличается на 1. Может ли не всех кустах расти в сумме 225 ягод?
3. Есть пульт, 5х6 лампочек. За один ход можно менять состояние двух соседних лампочек. Изначально горит одна лампочка. Можно ли сделать так, чтобы горел весь пульт?
4. Можно ли равносторонний треугольник со стороной 1 покрыть двумя кругами диаметра 0,99?
5. Какое максимальное число фигурок вида S можно поместить на доске 7х7?
6. Есть ли такие n, что n(n+1)(n+2) не делится на 6?
7. Есть лифт с двумя кнопками: +6 и -11. Можно ли с первого этажа доехать до 42-ого?

2 серия (тоже обо всём)

1. На потолке написаны три двузначных числа, одно начинается на 6, второе – на 7, третье – на 8. Сумма первых двух – 167. Две другие суммы – различные трехзначные числа, начинающиеся на 14. Какие три числа были на доске?
2. Из книги безжалостно вырвали какие-то 25 листов. Затем сложили номера всех страниц на вырванных листах. Могло ли получиться 2010?
3. На какое наименьшее число частей можно разрезать квадраты 3х3 и 4х4 (по линиям сетки), чтобы сложить из полученных частей квадрат 5х5?
4. Есть три ряда по 100 точек, нарисованных друг под другом. Сколько на плоскости есть прямых, проходящих ровно через 3 точки?
5. Квадрат со стороной 1 разбили на несколько прямоугольников, разрезами, параллельными сторонам квадрата. Может ли сумма периметров получившихся прямоугольников получиться равной 5? 7? 11? 111?
6. Даны два бикфордова шнура, каждый из которых горит ровно минуту, если его поджечь с одного конца (но сгорать может неравномерно). Как с помощью этих шнуров отмерить 45 секунд? (Поджигать шнур можно с любого из двух концов).
7. Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число A хорошее, то и число A + 6 тоже хорошее, а если число B плохое, то и число B + 15 тоже плохое. Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?

3 серия

1. Есть поворачивающая под прямым углом канава шириной 1 м и две доски длиной 90 см. Как бы так перейти через канаву?
2. Есть речка, через которую нужно переплыть трём людям и одной стиральной машине, и лодка. В лодку одновременно могут поместиться только три объекта. Однако загружать и выгружать стиральную машину из лодки можно только втроём. Как бы так им всем переправиться?
3. Есть чашечные весы, 8 совершенно одинаковых монет и одна фальшивая, которая легче настоящей. Как бы так её обнаружить за два взвешивания?
4. Можно ли разрезать на уголки доску (а) 6х6, (б) 7х7, (в) 9х9?
5. На доске написано число. Разрешается производить с ним следующую операцию: прибавлять целое число процентов от этого числа (не больше 100%), если результат также будет целым числом. Вначале на доске написано число 1. Какое наименьшее число нельзя будет получить такими операциями?
6. На плоскости нарисован черный квадрат. Можно ли положить семь квадратных плиток того же размера на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть черного квадрата (хотя бы одну точку внутри него)?
7. Несколько камней весят вместе 10 т, при этом каждый из них весит не более 1 т. Какого наименьшего числа трехтонок гарантированно хватит, чтобы увезти весь груз за один

4 серия

1. Какое максимальное число (а) ладей, (б) королей, (в) ферзей, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске 8×8?
2. Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин: 30 красных мерседесов, 20 желтых мерседесов, 20 розовых мерседесов и 30 других машин. Известно, что никакие два мерседеса разного цвета не стоят рядом. Докажите, что тогда какие-то три мерседеса, стоящие подряд — одного цвета.
3. Назовите наибольшее 4-значное число, у которого все цифры различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.
4. На фестивале камерной музыки собралось шесть музыкантов. На каждом концерте часть музыкантов выступает, а остальные слушают их из зала. За какое наименьшее число концертов каждый из шести музыкантов сможет послушать (из зала) всех остальных?
5. Есть прямоугольный стол и мнооого одинаковых монеток. Двое играют в игру: кладут по очереди монетки на стол без наложений. Кто не может положить монетку, тот проиграл. У кого есть выигрышная стратегия?
6. Повесьте картину на веревочке на два гвоздя так, чтобы при вытаскивании любого из гвоздей картина падала.

5 серия

1. Сколько есть чисел без нулей в записи, сумма цифр которых равна 7?
2. На какое наибольшее число частей можно разбить плоскость с помощью (а) 4, (б) 5 прямых?
3. Вася рвет газету на 8 частей, одну из получившихся частей - еще на 8, и так далее. Сможет ли он разорвать газету на 2010 частей?
4. В кухне 5 лампочек, каждая может гореть или не гореть. Сколькими способами можно осветить кухню?
5. В классе 28 человек. Каждая девочка дружит с четырьмя мальчиками, а каждый мальчик - с тремя девочками. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?
6. Квадрат 8x8 сложен из доминошек 1x2. Докажите, что какие-то две из них образуют квадрат 2x2.
7. Король со свитой движется из пункта А в пункт Б со скоростью 5 км/ч. Каждый час он высылает гонцов в Б, которые движутся со скоростью 20 км/ч. С какими интервалами прибывают гонцы в Б?

6 серия

1. Фрекен Бок съедает торт за полчаса, Малыш - за час, а Карлсон - за 5 минут. За какое время они съедят торт вместе?
2. Кузнечик прыгает по прямой на 6 и на 8 см (в любую сторону). Сможет ли он попасть в точку, расстояние от которой до исходной равно (а) 7 см, (б) 4 см?
3. В числе 3141592653589793 зачеркните 7 цифр так, чтобы осталось как можно большее число.
4. 15 ребят собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то 2 из них собрали одинаковое число орехов.
5. Сумма квадратов двух целых чисел делится на 3. Докажите, что каждое из этих чисел делится на 3.
6. Над строкой из четырёх чисел 1, 9, 8, 8 проделаем следующую операцию: между каждыми двумя соседними числами впишем число, которое получится в результате вычитания левого числа из правого. Над новой строкой проделаем ту же операцию и т.д. Найдите сумму чисел строки, которая получится после ста таких операций.
7. В Москве для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжать на улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее 10 машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если ее члены могут сами выбирать запрещенные дни для своих автомобилей?

7 серия (очень шахматная)

1. На шахматной доске стоит черный слон и белая ладья. Белые ходят первыми, далее ходы делаются по очереди. Цель – съесть фигуру противника. Доказать, что при правильной игре черные никогда не выиграют.
2. Можно ли ходом коня обойти доску (а) 4х5, (б) 4х6, (в) 4х7? Начинать можно в любой клетке, заканчивать – тоже. Нужно побывать в каждой клетке, причём ровно по одному разу.
3. Можно ли ходом коня обойти доску 9х15? Начинать можно в любой клетке, но в конце нужно обязательно вернуться в ту же клетку. Нужно побывать в каждой клетке, причём ровно по одному разу.
4. Есть доска 3х3. В левой верхней и в правой нижней клетках стоят белые кони. В двух других углах доски – чёрные. Докажите, что, как бы кони не прыгали (в произвольном порядке), нельзя получить следующую ситуацию: в левой верхней и левой нижней клетках – белые кони, в двух других углах доски – чёрные.
5. Поставьте на доске 6×6 как можно меньше королей так, чтобы в любом квадрате 4×4 оказался хотя бы один король.
6. Есть такая игра – двойные шахматы. Они отличаются от обычных шахмат только тем, что сначала ходят два раза подряд белые, потом – два раза подряд черные, и т.д. Докажите, что белые могут обеспечить себе как минимум ничью.

8 серия

1. В клетках таблицы 3х3 расставлены числа 1, 2 и 3. Докажите, что какие-то две суммы по строкам, столбцам и диагоналям будут равны.
2. Динозаврик умеет умножать на 2 и приписывать справа к числу цифру 1. Мог ли он получить число 75139711?
3. Сколько можно поставить слонов на шахматную доску так, чтобы они друг друга не били?
4. Есть круглый стол, 51 лысый человек и 49 волосатых. Докажите, что, как бы они ни сидели, в любом случае какие-то двое лысых будут сидеть друг напротив друга.
5. В вершинах квадрата расставлены числа 0, 0, 0, 1. За один ход разрешается прибавить по единице к числам в концах любой стороны. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали равными?
6. Докажите, что  среди чисел, меньших 100000, поровну чисел с суммой цифр 25 и с суммой цифр 20.
7. Назовем N-значное число торжественным, если все его цифры делятся на N. (а) Сколько всего 2-значных торжественных чисел? (б) 9-значных? (в) 4-значных?
8. На планете Икс на экваторе растут деревья, они все одинаковой длины. Однажды подул сильный ветер, и все деревья упали в одну сторону (на запад). Получилось так, что их стволы покрыли собой весь экватор. Докажите, что, если бы ветер подул в другую сторону, то произошло бы то же самое.

10 серия

1. Антон выписал все числа от 1 до 300000, в записи которых встречается фрагмент «23». А Андрей выписал все числа от 1 до 300000, в записи которых встречается фрагмент «34». Кто из них выписал больше чисел?
2. Можно ли в клетках квадрата 10х10 так расставить натуральные числа, чтобы в любых 5 клетках, образующих фигуру вида «П» (как угодно повернутую), сумма чисел была равна 105, а в любом прямоугольнике 1х2 сумма чисел была равна 40?
3. На доске 10х10 стоят 50 шашек: 25 в левом верхнем квадрате 5х5 и 25 в нижнем квадрате 5х5. За один ход любая шашка может перепрыгнуть через шашку, соседнюю с ней по горизонтали, вертикали или диагонали на следующее поле, если оно свободно. Могут ли через несколько ходов все шашки собраться на левой половине доски?
4. На 17 карточках написали числа от 1 до 17. После этого карточки перевернули и на обратной стороне также написали числа от 1 до 17 (возможно, в другом порядке). Затем сосчитали сумму чисел на каждой карточке и все суммы перемножили. Доказать, что получилось четное число.
5. Найдите все простые р, такие, что р²+4 и р²+6 также простые.
6. Докажите, что из простого числа, большего 1000, можно вычеркнуть одну или две цифры так, чтобы получилось составное число.