Серии 51—60 для первого года

51 серия. 11—12 мая 2011, ср—чт

1. A,B,C — натуральные числа. Докажите, что числа 5A+121B+19C и 148A-35B+110C дают одинаковые остатки от деления на 13.
2. Есть 5 горшочков с конфетами. Может ли быть так, что в любых двух горшочках больше двухсот конфет, а в любых трёх меньше трёхсот?
3. Шумахер убегает от тигра, кружа вокруг стадиона. За первый час Шумахер обогнал тигра на три круга, после чего увеличил скорость на 1 км/ч, и за второй час обогнал тигра на четыре круга. Найдите длину круга.
4. На доске 3×10 стоят белая ладья и чёрный слон, которые ходят по очереди по шахматным правилам. Доказать, что ладья может взять слона.
5. Верно ли, что если число делится на все числа от 2 до 5, то оно делится и на произведение этих чисел (т.е. на 120)?
6. У Димы есть набор из косых тетрамино, квадратиков 2×2 и уголков из трёх клеток. Он составил квадратик 7×7. Докажите, что была использована только одна 4-клеточная фигурка.
7. Шестеро друзей прогуляли урок. Когда их спросили, кому пришла в голову эта идея, каждый из них сказал «Не мне». Под давлением учителя трое добавили, что идея пришла в голову Боре, двое — что Глебу, а один — что Кате. В итоге разбирательства выяснилось, что среди этих 12 утверждений только половина — правда. Кто из учеников был инициатором прогула?

52 серия. 16 мая 2011, пн

1. Магараджей называется шахматная фигура, которая может бить и как ферзь, и как конь.  а) Сколькими способами можно расположить 4 такие фигуры, не бьющие друг друга, на доске 5 × 5?  б) Можно ли на доске 6 × 6 расположить пять таких фигур, не бьющих друг друга?
2. Может ли число 149410800 быть произведением двух квадратов? Произведением квадрата на простое число?
3. Одно и то же натуральное число поделили с остатком на 3, на 12 и на 54. Сумма трёх полученных остатков оказалась равна 39. Докажите, что остаток, полученный при делении на 3, равен 1.
4. Дана плоскость. Каждая точка этой плоскости покрашена в зеленый или розовый цвет. Докажите, что на этой плоскости найдется прямоугольник с вершинами, покрашенными в один цвет.
5. В некотором государстве любые два города соединены воздушным или водным путём. Докажите, что из любого города в любой можно добраться по воде или из любого города в любой можно добраться по воздуху.
6. Можно ли покрыть всю плоскость квадратами, среди которых всего два одинаковых?

53 серия. 18—19 мая 2011, ср—чт

1. У Миши и Маши есть два натуральных числа a и b. Миша посчитал их произведение, а Маша записала их подряд. Может ли Машин результат быть меньше Мишиного?
2. Найдите последнюю цифру числа 32012.
3. а) Маша и Миша вошли в автобус и купили два билета с последовательными номерами. Может ли сумма цифр на каждом из билетов делиться на 5?  б) А если они ехали вместе с Гришей и купили не два, а три билета?
4. Клетки тетрадного листка раскрашены в шесть цветов. Докажите, что найдётся L-тетрамино, в котором есть две клетки одного цвета.
5. Клетки тетрадного листа покрашены в восемь цветов. Верно ли, что найдётся тетрамино (какой-нибудь формы), в котором есть две клетки одного цвета?
6. Разность двух натуральных чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться 45045?
7. В пакете перемешаны конфеты трёх сортов. Какое наименьшее количество конфет надо взять, чтобы среди них заведомо были три конфеты одного сорта?

54 серия. 23 мая 2011, пн

1. а) Какую долю площади квадрата составляет площадь закрашенного треугольника? 
   б) Можно ли так сдвинуть точки M и N (оставляя их на тех же сторонах квадрата), чтобы эта доля составляла больше ½ ?
   
   
2. В ящике лежат 10 красных, 8 синих, 8 зелёных и 4 жёлтых карандаша. Какое наименьшее число карандашей надо в темноте взять из ящика, чтобы среди них заведомо было хотя бы по одному карандашу каждого цвета?
3. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 60 км/ч и возвратился со скоростью 40 км/ч. Какова была средняя скорость его езды?
4. Собрались несколько туземцев и каждый сказал: «Все остальные — лжецы». Сколько среди них рыцарей?
5. После того как пешеход прошёл 1 км пути и половину оставшегося пути, ему ещё осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен весь путь?
6. В вершинах куба расставлены числа 1, 2, …, 8. Докажите, что есть ребро, цифры на концах которого отличаются не менее чем на три.
7. Назовём «плиткой» прямоугольник, соотношение сторон которого (т.е. отношение большей стороны к меньшей) не больше 4:3 (в частности, квадрат является плиткой). Мы хотим составить из нескольких плиток (не обязательно равных) одну большую плитку. Какое минимальное количество плиток для этого нужно?