Серии 11—20 для первого года

11 серия

1. Наполненный доверху водой сосуд весит 5 кг, а наполненный наполовину - 3 кг 250 г. Сколько воды вмещает сосуд?
2. У старухи Шапокляк есть ковёр 4×4 метра. Моль проела в нём 15 дырок (каждая дыра — точкa). Может ли старуха Шапокляк вырезать из ковра маленький целый коврик размером 1×1 метр?
3. Придумайте два последовательных натуральных числа, суммы цифр которых делятся на 7
4. Кузнечик прыгает по прямой на 6 и на 3 см (в любую сторону). Сможет ли он попасть в точку, расстояние от которой до исходной равно 55 см?
5. На кружок ходят 25 учеников. Докажите, что найдутся 3 ученика, родившиеся в одном и том же месяце.
6. Из чисел 1, 2, ... , 49, 50 выбрали 26 чисел. Обязательно ли среди них найдутся два числа, отличающиеся друг от друга на 1?

12 серия

1. На окраску куба со стороной 3 см использовано 4 г краски. Сколько краски потребуется на окраску куба со стороной 6 см?
2. (а) Можно ли в таблице 5 х 5 расставить 5 единиц, 5 двоек, 5 троек, 5 четверок и 5 пятерок так, чтобы сумма чисел в любом квадрате 2 х 2 была одной и та же? (b) Можно ли в таблице 7 х 7 расставить 7 единиц, 7 двоек, …, 7 семерок так, чтобы сумма чисел в любом квадрате 3 х 3 была одной и та же? (c) Можно ли в таблице 6 х 6 расставить 6 единиц, 6 двоек, …, 6 шестерок так, чтобы сумма чисел в любом квадрате 3 х 3 была одной и та же?
3. Каких пятизначных чисел больше: тех, у которых наименьшая цифра стоит третьей, или тех, у которых наименьшая цифра первая?
4. Имеет ли решение ребус: СВЕТА – ДИМА = САША? (Одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами, разные — разными.)
5. Можно ли на доску 5 х 5 поставить 3 коня так, чтобы они били все незанятые ими клетки?
6. Однажды Саша посмотрел на свои электронные часы и заметил удивительную вещь: если сравнить их показание сейчас и в тот момент, когда Саша последний раз смотрел на часы, то цифры стоят в том же порядке, но одна цифра исчезла. Мало того, если бы у Саши были часы со стрелками, то сравнения ничего бы не дало: часы показывали то же время. Который сейчас час?
7. Сколько трехзначных чисел, у которых одна из цифр равна сумме двух других?
8. К каждой грани кубика приклеили по такому же кубику. К каждой грани поверхности получившейся фигуры приклеили еще раз по такому же кубику (возможно, некоторые кубики закрыли две грани). Из какого количества квадратиков состоит поверхность полученного тела?

13 серия

1. На клетках a1, b2, c3 и d4 шахматной доски лежат алмазы. Помогите мудрецам распилить эту доску на четыре одинаковые части,  в каждой из которых будет один алмаз.
2. Решите числовой ребус  ПЧЁЛКА x 7 = ЖЖЖЖЖЖ (одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные - различным).
3. Произведение двузначного числа на 6 есть куб натурального числа. Найдите исходное двузначное число.
4. В первый день ученик прочитал четверть всей книги, во второй — 65% остатка, в третий — всё оставшееся. В какой из дней ученик прочитал больше всего страниц, а в какой - меньше всего?
5. В правильном восьмиугольнике провели все диагонали. а) Сколько их? б) Сколько квадратов получилось?
6. Каждый из четырех гномов — Беня, Веня, Женя, Сеня — либо всегда говорит правду, либо всегда врет. Мы услышали такой разговор:     Беня — Вене: "ты врун";     Женя — Бене: "сам ты врун";     Сеня — Жене: "да оба они вруны" — (подумав), — "впрочем, ты тоже".     Кто из них говорит правду?
7. У Александра Марковича имеются карточки с числами от 1 до 30. Помогите ему выложить их в ряд таким образом, чтобы получившееся 51-значное число было наибольшим из возможных.
8. Торт весит 630 г. Вася хочет разрезать его на 15 кусков так, чтобы его можно было разделить поровну и на девятерых, и на семерых человек.

15 серия (денежная). 22 ноября 2010, пн

1. Одна купюра лежит на другой (см. рисунок). Какая часть нижней купюры больше — открытая или закрытая?
   
   
2. У монеток в 1, 2, … 7 тугриков диаметры увеличиваются вместе с достоинством. У Пети есть по одной монетке каждого вида, и он строит из них пирамидку (не обязательно из всех). Он хочет, чтобы сверху монетки были всегда меньше, чем снизу, и чтобы в пирамидке было хотя бы две монетки. Сколько способов построить такую пирамидку?
3. Сумму в 6 копеек можно набрать двумя способами: 5+1 и 1+1+1+1+1+1.     Сколько способов набрать сумму: а) 10 копеек; б) 25 копеек; в) 90 копеек?
4. Какую сумму можно набрать бо́льшим количеством способов:      а) 8 р. 46 к. или 8 р. 49 к.? б) 8 р. 49 к. или 8 р. 51 к.?
5. У советских медных монеток в 1, 2, 3, 5 копеек масса равнялась 1, 2, 3, 5 граммам. Пусть у нас есть двухкопеечная, пятикопеечная монета и чашечные весы. Нам дают груз, масса которого в граммах — целое число от 1 до 8. Как взвесить этот грузик?
6. Купюра в тысячу тугриков имеет размеры 5 x 10 см, а купюра в сто тугриков -- 4 x 8 см. Положите на тысячетугриковую купюру 11 стотугриковых так, чтобы «сотни» не перекрывались, а каждая «сотня» накрывала часть «тысячи».
7. 20 ручек стоят столько же, сколько ручек можно купить за 500 рублей. Сколько стоит ручка?

16 серия

1. Вася и Петя придумали игру — положили на стол 150 конфет, под которыми спрятали шоколадку. За ход можно съесть 2, 3 или 4 конфеты. Тот, кто съел последнюю конфету, получает в качестве приза и шоколадку. Первым ходит Петя. Кто из ребят может обеспечить себе победу и как для этого он должен играть?
2. Можно ли число 91 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение этих чисел тоже было равно 91?
3. В числе 3 728 954 106 зачеркнуть три цифры так, чтобы оставшиеся (подряд, в том же порядке) образовывали бы наименьшее семизначное число.
4. Докажите, что если в трехзначном числе сумма крайних цифр равна средней, то число делится на 11.
5. Можно ли между числами от 1 до 9 поставить знаки «+» и «–» так, чтобы в результате получилось 40?
6. Четыре утёнка и пять гусят весят 4 кг 100 г, а пять утят и четыре гусёнка весят 4 кг. Сколько весит 1 утёнок?
7. Что больше – сумма всех натуральных чисел от 1 до 100 или сумма 3+7+11+...+199 (сложены числа от 3 до 199, каждое следующее на 4 больше предыдущего)?

17 серия (по мотивам олимпиады ЮМШ)

1. Какое максимальное число фотографий 3x4 можно разместить на листе 10x15? (Нельзя, чтобы фотографии наползали друг на друга или выползали с листа.)
2. (а) Расставьте числа от 1 до 12 в таблице 3х4 так, чтобы сумма чисел в любой строке и сумма чисел в любом столбце делилась на 3. (б) Сделайте то же самое для чисел от 1 до 15 в таблице 3х5.
3. (а) Можно ли разбить числа от 1 до 24 на пары так, чтобы сумма в каждой паре была квадратом какого-нибудь целого числа? (б) А числа от 1 до 16? (в) А числа от 1 до 6?
4. Нарисуйте 4 точки и 3 прямые линии (точки не должны лежать на этих прямых), чтобы отрезок, соединяющий любые 2 точки, пересекал ровно 2 прямые.
5. На острове Ых живут рыцари, которые говорят всегда только правду, и лжецы, которые всегда-всегда врут. Всего их – 10 человек. Одного человека спросили про каждого из остальных, являются ли эти люди рыцарями. Он 4 раза ответил «Да» и 5 раз ответил «Нет». Сколько на острове Ых рыцарей?
6. Калькулятор «ЫХ» умеет выполнять две операции – кнопка «Ы» умножает число (высвечивающееся на индикаторе калькулятора) на 6, а кнопка «Х» стирает у этого числа последнюю цифру. Докажите, что пользуясь этим калькулятором, можно из любого натурального числа получить единицу.
7. По кругу расположены 20 кружков. Их можно красить в красный или синий цвет. Двое играют в следующую игру: они красят по очереди кружки в любой из двух цветов, причём нельзя красить кружок в цвет, в который уже покрашен соседний кружок. Кто выигрывает при правильной игре?

18 серия. 1—2 декабря 2010, ср—чт

1. а) Антон Валерьевич расставляет по кругу красные и синие фишки. За каждую пару рядом стоящих фишек разного цвета он получает бонус. Может ли он получить ровно 533 бонуса?    б) А если фишки красные, синие и зелёные?
2. Между числами 1, 2, …9 поставьте плюсы и минусы так, чтоб получилось число 1.
3. Максим увлечённо вырезает из листа 10×15 прямоугольники 3×4. Когда Максим на пару секунд отвернулся, Олег успел назло ему закрасить пять прямоугольников 3×4 (по клеточкам). «Ну что же ты сделал»,— сказал ему Максим, — «теперь я не могу вырезать ни одного чистого прямоугольника 3×4».    Придумайте, какие прямоугольники Олег мог закрасить.
4. Мог ли в предыдущей задаче Олег обойтись четырьмя прямоугольниками?
5. Из Катиной прямоугольной доски площадью 150 клеток можно вырезать прямоугольник 3×4, но 12 таких прямоугольников вырезать нельзя. Возможно ли такое?
6. Два мальчика по прозвищу Пикассо и Дали по очереди рисуют картины размером 3×4 на листе 10×15. При этом они не залезают на уже нарисованные картины. Каждый из них хочет, чтобы именно его картина оказалась последней из нарисованных.    Первым ходом Пикассо нарисовал свою картину в центре листа. Докажите, что теперь Пикассо может добиться победы при любых действиях Дали.
7. Можно ли разрезать на домики  : а) удвоенный домик , состоящий из пяти квадратов 2×2; б) утроенный; в) учетверённый; г) удесятерённый домик? Домики можно поворачивать и переворачивать.
   
   

19 серия

1. В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только весы без стрелки, отмерить 9 кг гвоздей?
2. На плоскости расположено 11 шестеренок, соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно?
3. Может ли конь пройти с поля a1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?
4. 25 Антонов и 25 Андреев сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа – Андреи.
5. (а) Каждую клетку квадратной таблицы 2 × 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы? (б) А если таблица 10 х 10?
6. (а) На доске в одну строчку 100 раз подряд выписана последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5. Маша умеет проделывать только одну операцию: стирать одинаковые числа из текущей последовательности, если между ними нечётное количество (ещё не стёртых) чисел. Может ли она сделать так, чтобы после нескольких таких операций какие-нибудь два одинаковых числа шли подряд? (б) А если последовательность 1, 2, …, 15?
7. Есть клетчатая комната, составленное из пяти квадратов 3х3 в виде крестика. В центре поставлена непрозрачная стена размером в одну клеточку. Какое минимальное количество лампочек, которые светят ходом ладьи можно поставить на доску так, чтобы осветить всю комнату?

20 серия

1. На шахматной доске размером (а) 2х2, (б)4х4, (в) 8х8 произвольно проведена прямая. Чему равно наибольшее число клеток, которые она может пересечь?
2. Есть фанерный прямоугольник (а) 2х3, (б) 4х7, (в) 19х23, лист бумаги и карандаш. Карандашом можно обводить прямоугольник. Можно ли нарисовать квадрат 1х1?
3. Может ли квадрат какого-нибудь целого числа быть кубом какого-нибудь другого целого числа?
4. По кругу как-то расставлены (а) 3 красных и 5 синих, (б) 45 красных и 64 синих точки. Каждую красную точку соединили отрезком с каждой синей. И каждую синюю точку соединили отрезком с каждой синей. Сколько получилось отрезков?
5. В одну из голов стоглавого дракона пришла мысль расположить свои головы так, чтобы каждая находилась где-то на прямой между двумя другими. Сможет ли он так сделать? (Головы – это точки в пространстве.)
6. В каждой клетке таблицы 37х5 (37 строк, 5 столбцов) стоит натуральное число от 1 до 10. В каждой строке числа упорядочены слева направо в неубывающем порядке. На любой диагональной линии, направленной вниз-вправо, все числа равны. Докажите, что таблице есть строка, содержащая 5 одинаковых чисел.