Серии 1—10 для первого года

1 серия

1. Можно ли разрезать квадрат на (а) 4, (б) 9, (в) 2, (г) 6, (д) 8, (е) 10, (ж) 3 квадрата?
2. Вдоль забора растут 8 кустов малины. На соседних кустах количество ягод отличается на 1. Может ли не всех кустах расти в сумме 225 ягод?
3. Есть пульт, 5х6 лампочек. За один ход можно менять состояние двух соседних лампочек. Изначально горит одна лампочка. Можно ли сделать так, чтобы горел весь пульт?
4. Можно ли равносторонний треугольник со стороной 1 покрыть двумя кругами диаметра 0,99?
5. Какое максимальное число фигурок вида S можно поместить на доске 7х7?
6. Есть ли такие n, что n(n+1)(n+2) не делится на 6?
7. Есть лифт с двумя кнопками: +6 и -11. Можно ли с первого этажа доехать до 42-ого?

3 серия

1. Есть три ряда по 7 точек, нарисованных друг под другом. Сколько есть прямых, проходящих ровно через 3 точки?
2. Даны два бикфордова шнура, каждый из которых горит ровно минуту, если его поджечь с одного конца (но сгорать может неравномерно). Как бы так с помощью этих шнуров отмерить 45 секунд? (Поджигать шнур можно с любого из двух концов).
3. Есть поворачивающая канава шириной 1 м и две доски длиной 90 см. Как бы так перейти через канаву?
4. Есть речка, через которую нужно переплыть трём людям и одной стиральной машине, и лодка. В лодку одновременно могут поместиться только три объекта. Однако загружать и выгружать стиральную машину из лодки можно только втроём. Как бы так им всем переправиться?
5. Есть чашечные весы, 8 совершенно одинаковых монет и одна отличающаяся от них по весу фальшивая. Как бы так её обнаружить за два взвешивания?
6. Можно ли разрезать на уголки доску (а) 6х6, (б) 7х7, (в) 9х9?

5 серия

1. Есть три ряда по 11 точек, нарисованных друг под другом. Сколько есть прямых, проходящих ровно через 3 точки?
2. Есть чашечные весы, 26 совершенно одинаковых монет и ещё одна фальшивая, которая легче настоящей. Как бы так её обнаружить за три взвешивания?
3. Сколько есть чисел без нулей в записи, сумма цифр которых равна 7?
4. На какое наибольшее число частей можно разбить плоскость с помощью (а) 4, (б) 5 прямых?
5. Можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3 л и 5 л, набрать из крана в больший из этих сосудов 4 л воды ?
6. Девять одинаковых открыток стоят меньше десяти рублей, а десять таких же открыток стоят больше одиннадцати рублей. Сколько стоит одна открытка? (Известно, что одна открытка стоит целое число копеек.)
7. Вася рвет газету на 8 частей, одну из получившихся частей - еще на 8, и так далее. Сможет ли он разорвать газету на 2002 части?
8. В кухне 5 лампочек, каждая может гореть или не гореть. Сколькими способами можно осветить кухню?

6 серия

1. Фрекен Бок съедает торт за полчаса, Малыш - за час, а Карлсон - за 5 минут. За какое время они съедят торт вместе?
2. Кузнечик прыгает по прямой на 6 и на 8 см (в любую сторону). Сможет ли он попасть в точку, расстояние от которой до исходной равно (а) 7 см, (б) 4 см?
3. В числе 3141592653589793 зачеркните 7 цифр так, чтобы осталось как можно большее число.
4. 15 ребят собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то 2 из них собрали одинаковое число орехов.
5. В стране 15 городов, каждый соединен дорогами не менее, чем с 7-ю другими. Докажите, что из любого города можно проехать в любой другой: либо напрямую, либо через один промежуточный город
6. Можно ли в таблице 5x5 расставить несколько чисел так, чтобы сумма чисел в любом столбце равнялась восьми, а в любой строке - девяти?
7. «У Андрея больше тысячи книг!» «Да нет, у него меньше тысячи книг!» «Ну уж как минимум одна-то книга у него точно есть!» Известно, что среди этих утверждений ровно одно верное. Сколько книг может быть у Андрея?

7 серия

1. На шахматной доске стоит черный слон и белая ладья. Белые ходят первыми. Цель – съесть фигуру противника. Доказать, что при правильной игре черные никогда не выиграют.
2. Можно ли ходом коня обойти доску (а) 3х5, (б) 3х6, (в) 3х7? Начинать можно в любой клетке, заканчивать – тоже. Нужно побывать в каждой клетке, причём ровно по одному разу.
3. Есть доска 3х3. В левой верхней и в правой нижней клетках стоят белые кони. В двух других углах доски – чёрные. Докажите, что, как бы кони не прыгали, нельзя получить следующую ситуацию: в левой верхней и левой нижней клетках – белые кони, в двух других углах доски – чёрные.
4. 33 дороги соединяют города A и B, 44 дороги соединяют B и C. Сколькими способами можно совершить поездки из А в С через В?
5. Сколько способов выбрать старосту и ответственного за цветы в классе из 25 человек?
6. Поставьте в квадрате 6x6 как можно меньше звездочек так, чтобы в любом квадрате 4x4 оказалась хотя бы одна звездочка.

8 серия

1. В клетках таблицы 3х3 расставлены числа -1, 0 и 1. Докажите, что какие-то две суммы по строкам, столбцам и диагоналям будут равны.
2. Сколько можно поставить слонов на шахматную доску так, чтобы они друг друга не били?
3. Есть круглый стол, 51 лысый человек и 49 волосатых. Докажите, что, как бы они ни сидели, в любом случае какие-то двое лысых будут сидеть друг напротив друга.
4. В вершинах квадрата расставлены числа 0, 0, 0, 1. За один ход разрешается прибавить по единице к числам в концах любой стороны. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали равными?
5. Докажите, что  среди чисел, меньших 100, поровну чисел с суммой цифр 5 и с суммой цифр 13.
6. Назовем N-значное число торжественным, если все его цифры делятся на N. (а) Сколько всего 2-значных торжественных чисел? (б) 9-значных? (в) 4-значных?

9 серия

1. Динозаврик умеет умножать на 2 и приписывать справа к числу цифру 1. Мог ли он получить из 1 число 75139711?
2. Другой динозаврик умеет умножать число на 3, 5, 7 и 9, а также прибавлять к числу 2, 4, 6 и 8. Может ли он с такими умениями получить из числа 654321 число 123456123456123456?
3. 3333 динозаврика пошли купаться на пляж. После каждого купания 2, 6 или 18 динозавриков превращались в рыбок и уплывали. Могло ли на пляже, в конечном итоге, остаться 444 динозаврика?
4. 3333 динозаврика пошли купаться на пляж. После каждого купания 3, 6 или 18 динозавриков превращались в рыбок и уплывали. Могло ли на пляже, в конечном итоге, остаться 444 динозаврика?
5. На планете Икс на экваторе растут деревья одинаковой длины. Однажды подул сильный ветер, и все деревья упали в одну сторону (на запад). Получилось так, что их стволы покрыли собой весь экватор. Докажите, что, если бы ветер подул в другую сторону, то произошло бы то же самое.

10 серия

1. Разрежьте прямоугольник 3х4 на две равные части пятью способами (резать можно только по сторонам клеток)
2. Разрежьте прямоугольник 4х9 на две равные части, из которых можно сложить квадрат.
3. Можно ли квадрат 5х5 разрезать на две равные части?
4. Антон выписал все числа от 1 до 300000, в записи которых встречается фрагмент «23». А Андрей выписал все числа от 1 до 300000, в записи которых встречается фрагмент «34». Кто из них выписал больше чисел?
5. Можно ли в клетках квадрата 10х10 так расставить натуральные числа, чтобы в любых 5 клетках, образующих фигуру вида «П» (как угодно повернутую), сумма чисел была равна 105, а в любом прямоугольнике 1х2 сумма чисел была равна 40?
6. Можно ли разрезать прямоугольник 5х2010 на «домики» - квадраты 2х2 с одной приклеенной клеточкой?