Серии 21—30 для первого года

21 серия. 15—16 декабря 2010, ср—чт

1. Вася разрезал квадрат на два прямоугольника, потом один из полученных прямоугольников — ещё на два и так далее. В какой-то момент он обнаружил, что у всех прямоугольников одинаковая площадь. Правда ли, что тогда какие-то два прямоугольника совсем одинаковые?
2. Можно ли разбить шахматную доску с отбитыми угловыми клетками:    (а) на прямоугольники 1×2; (б) на прямоугольники 1×3; (в) на прямоугольники 1×7?
3. Сосульку длиной 396 метров разрезали на несколько сосулек поменьше, причём их длины — попарно различные целые числа (то есть все разные). Какое максимальное количество сосулек могло получиться?
4. Вася выписал все числа от одного до миллиона, которые можно представить в виде суммы квадрата какого-то натурального числа и куба какого-то натурального числа. Ответьте, он выписал больше 250000 чисел или меньше?
5. Петя рассказал родителям, что вчера на кружке было 11 человек, причём каждый из них пожал руку ровно троим из остальных. Не ошибся ли Петя?
6. На шахматной доске размером 3×3 проведена окружность. Какое наибольшее количество клеток она может пересекать?

22 серия. 20 декабря 2010, пн

1. Можно ли разбить цифры от 0 до 9 на две группы (в каждой группе должна быть хотя бы одна цифра) так, чтобы:    а) сумма цифр в одной группе равнялась сумме цифр в другой группе?    б) произведение цифр в одной группе равнялось произведению цифр в другой группе?    в) произведение цифр в одной группе равнялось сумме цифр в другой группе?
2. На доске 10×10 стоит двухпалубный корабль (прямоугольник 1×2). Петя покупает в магазине патроны. Какое наименьшее количество патронов он должен купить, чтобы ими наверняка можно было подбить корабль?
3. В обычном домино каждая костяшка состоит из двух половинок, на каждой из которых от 0 до 6 точек. Всего в наборе домино 28 костяшек. Володя изобрёл «большое домино», в котором количество точек не от 0 до 6, а от 0 до 15. Сколько костяшек будет в «большом домино»?
4. Чего больше:     а) костяшек обычного домино с суммой очков 9 или костяшек «большого домино» с суммой цифр 9?    б) костяшек обычного домино с суммой очков 5 или костяшек «большого домино» с суммой цифр 25?
5. Все костяшки обычного домино выложили в цепь (соединяя половинки с равным числом точек). На одном конце цепи 5 очков. А сколько на другом?
6. Можно ли выложить в цепь все костяшки «большого домино»?
7. Есть 21 бочка, из которых 7 пустых, 7 полных кваса, а 7 наполнены квасом ровно наполовину. Разделите их между тремя людьми так, чтобы каждому досталось поровну и бочек, и кваса.

23 серия. 27 декабря 2010, пн

1. В таблице 7×10 расставлены числа так, что во всех столбцах сумма равна 20. Известно, что во всех строках суммы тоже равны. Найдите их.
2. Решите числовой ребус: АХ + УХ = УРА
3. Полный бидон с молоком весит 20 кг, а бидон, наполненный молоком наполовину, весит 14 кг. Сколько будет весить бидон, если его наполнить молоком на треть?
4. Вася хочет нарисовать такой прямоугольный треугольник, который можно разрезать на 10 одинаковых прямоугольных треугольников. Помогите Васе это сделать.
5. На доску 5×5 Вася хочет поставить сколько-то королей и еще сколько-то коней так, чтобы ни одна фигура не била никакую другую. Какое наибольшее число фигур ему удастся расставить, если на доске должен стоять хотя бы один король и хотя бы один конь?
6. Боря сложил все чётные натуральные числа, не превосходящие 2011, а Катя — все нечетные. У кого из них получилась сумма больше и на сколько?
7. У какого количества четырехзначных чисел сумма первых двух цифр равна сумме следующих двух цифр и равна 9?

24 серия. 29—30 декабря 2011, ср—чт

1. В компании из пяти мальчиков каждый имеет хотя бы двух братьев. Докажите, что все пятеро — братья.
2. Можно ли числа от 1 до 100 выписать в ряд так, чтобы разность любых соседних (из большего вычитают меньшее) была не меньше 50?
3. Из холодного крана таз наполняется за 1 минуту, а из горячего — за 1,5 минуты. Я включил горячую воду. Через сколько секунд я должен включить холодную воду (не выключая горячую), чтобы к моменту наполнения в тазу оказалось поровну горячей и холодной воды?
4. За круглым столом сидят 7 человек — рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Все семеро по очереди произнесли фразу: «Оба моих соседа — лжецы». Сколько рыцарей за столом?
5. Нарисуйте прямоугольный треугольник, который можно разбить на 8 одинаковых прямоугольных треугольников.

25 серия. 13 января 2011, чт

1. Петя говорит: «В нашей школе учится 500 человек, и у каждого ровно 6 тёзок». Может ли такое быть?
2. Коля говорит: «В нашей сельской школе учится меньше 100 человек, и у каждого из них ровно 6 тёзок и ровно 14 однофамильцев». А такое может быть?
3. У Дениса есть три целых числа, кратных трём. Верно ли, что их среднее арифметическое: а) целое; б) кратно трём?
4. Можно ли выписать числа от 1 до 5 в ряд так, что из любых трёх подряд идущих чисел какое-то одно равно сумме двух других? Каждое число надо использовать ровно один раз.
5. Можно ли выписать числа от 1 до 10 по кругу так, что из любых трёх подряд идущих чисел какое-то одно равно сумме двух других?
6. На физкультуре класс выстроился в шеренгу. Учитель попросил каждого третьего ученика (т.е. 3-го, 6-го, 9-го и т.д.) сделать шаг вперёд и отправил этих учеников мыть полы. Затем он попросил каждого 5-го сделать шаг назад, после чего отпустил их на обед. Теперь в зале осталось 16 учеников. Сколько всего учеников может быть в классе? Перечислите все варианты ответа и докажите, что других нет.
7. Три брата играли в снежки. В старшего брата попало в полтора раза больше снежков, чем в младшего, а в среднего — меньше, чем в старшего, но больше, чем в младшего. Какое минимальное количество снежков могли налепить три брата (в сумме)?

26 серия. 19—20 января 2011, ср—чт

1. У вас есть лента длиной 2/3 метра. Как, не производя измерений, отрезать от неё ровно полметра?
2. Как-то раз Саша сказал: «Позавчера мне было 10 лет, а в будущем году будет 13». И это было правдой. В какой день могла быть сказана эта фраза?
3. В каком-то месяце три воскресенья пришлись на чётные числа. А каким днём недели было 19-е число?
4. Из квадрата размером (а) 4x4; (б) 32x32 вырезали угловую клетку. Докажите, что оставшуюся часть можно разрезать на трёхклеточные уголки.
5. В ряд выстроились 100 человек — рыцари и лжецы. Каждый из них сказал: «слева от меня лжецов меньше, чем справа». Сколько среди них рыцарей?
6. В ряд выстроились 100 человек — рыцари и лжецы. Каждый из них сказал: «слева от меня рыцарей меньше, чем справа». Сколько среди них рыцарей?
7. Вася говорит, что нашёл точный квадрат, запись которого состоит  только из двоек, троек и восьмёрок. Не ошибся ли он?
8. Решите английский ребус ONE+TWO+FIVE=EIGHT.

27 серия. 24 января 2011, пн

1. Настя написала три трёхзначных числа, в которых все 9 цифр разные, и сложила их. а) Какое наибольшее число у неё могло получиться? б) А наименьшее? Число не может начинаться с нуля.
2. На рисунке изображён квадрат и указаны длины двух отрезков. Площадь каждого из заштрихованных прямоугольников равна 20. Найдите площадь внутреннего прямоугольника.
   
   
3. Разрежьте квадрат на 5 частей так, чтобы первая часть имела одну соседнюю, вторая — две, третья — три, четвёртая — четыре, а пятая — сколько вам угодно.
4. Может ли «сколько угодно» из предыдущей задачи равняться одному?
5. У ромашки 8 лепестков. Расставьте на лепестках 8 различных натуральных чисел, не превосходящих 25, так, чтобы разность чисел на соседних лепестках равнялась либо 5, либо 7.
6. В клетки таблицы 5×5 поставили по цифре; 10 пятизначных чисел (которые получились по строкам и по столбцам) выписали на листочек. Может ли на листочке оказаться: а) ровно 8; б) ровно 9 чисел, кратных девяти?
7. Сколькими способами можно закрасить в квадрате 10×10: а) домино; б) угловое тримино?

28 серия. 26—27 января 2011, ср—чт

1. На плоскости нарисованы круг и прямоугольник. Докажите, что можно провести прямую так, что она разрежет и круг, и прямоугольник на две равные части.
2. У Александра Марковича есть купюры достоинством в 10, 50, 100, 500, 1000, 5000 рублей — по одной купюре разного вида. Сколько разных (отличных от нуля) сумм можно набрать с помощью этих купюр?
3. а) За круглым столом на 8 персон сидят трое и пьют чай. Перед ними стоят грязные чашки, а на остальных местах — чистые. Докажите, что можно повернуть стол так, чтобы перед всеми троими оказались чистые чашки.    б) Верно ли это, если за столом сидят четверо?
4. Пусть x, y — целые числа. Докажите, что 6x + 11y кратно 31 тогда и только тогда, когда x + 7y кратно 31.

29 серия. 31 января 2011, пн

1. На прямой расположено пять точек A, B, C, D, E (именно в таком порядке). Известно, что AB=19 см, CE=97 см, AC=BD. Найдите длину отрезка DE.
2. В классе никто не любит четного количества видов фруктов. Груши любят 13 человек, яблоки – 10, а бананы – 12 человек. Может ли всего в классе быть 32 человека?
3. В классе — 20 человек. Каким количеством способов можно назначить старосту, его помощника и члена совета школы?
4. Осьминог Пауль хочет придумать шесть натуральных чисел так, чтобы разность любых двух из этих чисел не делилась на 5. Может ли он добиться успеха?
5. Имеются две красные, две желтые и две зеленые гири. Одна гиря каждого цвета тяжелая, а другая легкая. Все тяжелые гири весят одинаково и все легкие гири весят одинаково. За два взвешивания на чашечных весах определите тяжёлые гири.
6. Зловредное дерево опутало корнями весь садовый участок. Садовник Антон и физик Андрей решили спасти сад от такой неприятности и начали изводить растение. При этом садовник Антон разрубал каждый попадающийся ему кусок растения на 7 частей, а физик Андрей – на 10. Могло ли через пару часов оказаться 2010 кусочков дерева?
7. Какое наименьшее число клеток нужно закрасить черной краской на белом квадрате 6х6, чтобы из него нельзя было вырезать ни одного белого уголка из трех клеток?

30 серия. 2—3 февраля 2011, ср—чт

1. По дороге в Солнечный город Пачкуля Пестренький начал составлять числа, в записи которых используются все цифры. Какое минимальное число он мог составить?
2. В ящике лежит 40 килограммов конфет. Кнопочка хочет отмерить 15 килограммов конфет, чтобы взять их с собой в дорогу. У нее есть только чашечные весы без гирь. Помогите ей это сделать.
3. Пончик и Сиропчик договорились, что Пончик будет врать по понедельникам, вторникам и средам, а все остальные дни будет говорить правду. Сиропчик же будет врать по четвергам, пятницам и субботам, а все остальные дни будет говорить правду. В какой день недели они могли оба сказать: «Завтра я буду врать»?
4. Незнайка перемножил все числа от 1 до 15. У него получилось 1307678465242. Докажите, что он ошибся в вычислениях.
5. Знайка положил на счет в банке 3 рубля. Каждый день на его счет добавляется количество рублей, равное сумме цифр текущего счета. Когда Вася пришел забирать вклад, ему выдали ровно 1000 рублей. Докажите, что его обсчитали.
6. На слёте инопланетян встретились 2001 марсианин. У каждого марсианина имеется 3 руки. Могут ли они взяться за руки так, чтобы не осталось ни  одной свободной руки (в  каждом  рукопожатии  участвуют  две руки)?
7. Найдите сумму всех чисел в таблице умножения, в которой попарно умножены друг на друга все числа от 1 до 9.