Серии 41—50 для первого года

41 серия. 28 марта 2011, пн

1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составьте пример на сложение так, чтобы получилась сумма 99999.
2. Сократите дробь: а) 37373737/81818181; б) 609609609/295295295.
3. Старший брат идет от дома до школы 30 минут, а младший - 40 минут. Через сколько минут старший брат догонит младшего, если тот вышел из дома на 5 минут раньше?
4. На доске написано число 1. За один ход разрешается либо прибавить к числу сумму всех его цифр, либо переставить его цифры в любом порядке. (Например, из числа 3 за один ход можно получить только число 6, а из числа 13 - либо число 17, либо число 31.) За какое наименьшее число ходов можно получить трехзначное число?
5. Тридцать три ореха разложены по кускам, причем в каждой кучке больше одного ореха. После того, как из каждой кучки в первую положили по одному ореху, орехов во всех кучках стало поровну. Сколько имеется кучек, и сколько орехов было в каждой из них первоначально?
6. А, Б, В, Г - какие-то цифры. Найти их, если известно, что ВАБА, ГВБА, ГАВБ - квадраты.

42 серия. 4 апреля 2011, пн

1. У Коли есть несколько разных флажков. Флажки состоят из трёх горизонтальных полосок; каждая полоска может быть красной, зелёной или синей; некоторые, в том числе соседние, полоски могут быть одинакового цвета. Флаги «СЗК» и «КЗС» считаем разными. К Коле подходит дальтоник Толя, который не различает красный и зелёный цвета. «На мой взгляд, они все у тебя одинаковые»,— мрачно произносит Толя. Какое максимальное количество флажков может быть у Коли?
2. Петя рисует циркулем окружности на листе 20×30 см. Первая его окружность имеет диаметр 1 см, а дальше он рисует окружности по такому правилу: центр каждой новой окружности лежит на предыдущей, а сама новая окружность не пересекается с предыдущей. Какое максимальное количество окружностей может поместиться на лист?
3. Дима диктует Егору чей-то семизначный телефон. Чтобы проверить, правильно ли Егор его записал, они оба считают сумму цифр номера. Известно, что сумма цифр у них совпала. Мог ли Егор ошибиться ровно в одной цифре?
4. А если в предыдущей задаче вместо суммы цифр использовать произведение цифр?
5. «Скоро уже электричка»,— подумал Андрей, выходя из дома,— «Если я пойду на станцию со скоростью 4 км/ч, то опоздаю на три минуты. Зато если идти со скоростью 6 км/ч, то останется три лишних минуты, чтобы купить билет». На каком расстоянии станция находится от дома?
6. Два натуральных числа кончаются на одну и ту же цифру a, а их сумма и разность кончаются на одну и ту же цифру b, не равную a. Кто скрывается под масками a и b?
7. Паша собрал из двух плоских фигурок прямоугольник 12×3, а Маша из тех же фигурок — (а) квадрат 6×6; (б) прямоугольник 9×4. Придумайте, как могли выглядеть эти фигуры.

43 серия. 6—7 апреля 2011, ср—чт

1. Докажите, что 2009! + 2010! делится на 2011. (Напомним, что n!=1·2·…·n — факториал числа n.)
2. В стране X треть знающих английский знают французский, а половина знающих французский знают английский. Какой язык знает больше жителей и во сколько раз?
3. Четыре ладьи бьют все чёрные клетки шахматной доски (поле, на котором стоит ладья, тоже считается битым этой ладьёй). Докажите, что ладьи стоят на белых клетках.
4. Может ли трёхзначное число быть (а) на 275; (б) на 300; (в) на 360 больше суммы своих цифр?
5. Имеется 32 камня, любые два камня имеют разный вес.  Как за 35 взвешиваний на чашечных весах без гирь определить самый тяжёлый и второй по весу камень?
6. У четырёх ребят в кружке в сумме имеется 99 плюсиков в протоколе. Два человека  могут образовать команду на олимпиаду, только если у них в сумме не менее 50 плюсиков. Сколько есть способов у руководителя образовать команду из двух человек?

44 серия. 11 апреля 2011, пн

1. Из спичек сложено неверное равенство. Переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным.
   
   
2. Вася вырезал из картона треугольник, разрезал его на два треугольника и послал обе части Пете, который также сложил из них треугольник. Верно ли, что Петин треугольник обязательно равен Васиному?
3. Средний рост восьми баскетболистов равен 195 см. Какое наибольшее количество из этих игроков может быть ниже, чем 191 см?
4. Найдите наименьшее составное число, которое не делится ни на одно из натуральных чисел от двух до десяти.
5. В ряд выложили несколько апельсинов, мандаринов, яблок и груш. Известно, что рядом с фруктом каждого вида можно найти фрукт любого другого вида. Какое наименьшее количество фруктов могло быть выложено?
6. Вася задумал число и прибавил к этому числу его сумму цифр. Петя также задумал число и тоже прибавил к нему его сумму цифр. В результате сложения у Васи и Пети получились одинаковые числа. Верно ли, что они задумывали одинаковые числа?
7. В вершинах треугольника записаны числа 1, 2 и 3. Затем каждое из чисел одновременно заменили на сумму двух соседних. Эту операцию проделали ещё некоторое количество раз. Могла ли сумма получившихся в итоге трёх чисел оказаться равной 3000000?

45 серия. 13—14 апреля 2011, ср—чт

1. Для окраски одной грани кубика требуется 5 с. За какое наименьшее время  3 человека  могут выкрасить 188 кубиков? (Предполагается, что два человека не могут одновременно красить один кубик.)
2. Вера и Аня посещают математический кружок, в котором больше 91% мальчиков. Может ли в  кружке быть меньше, чем 21 мальчик?
3. Как из шахматной доски по клеточкам вырезать 12 доминошек так, чтобы из оставшейся части доски нельзя было бы вырезать прямоугольник 1х3?
4. Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна нечётная цифра?
5. Число а+1 делится на 4. Докажите, что число 3+7а тоже делится на 4.
6. В замке поселилось два привидения, одно из них поёт, другое - хохочет. В течение каждой минуты каждое из них либо звучит, либо молчит. Пение меняет свое поведение только в том случае, если в предыдущую минуту была игра на органе при молчащем Смехе. Если в предыдущую минуту горела свеча, то Смех повторяет поведение Пения, если нет - делает противоположное тому, что делало Пение. В настоящий момент оба привидения звучат. Как заставить их замолчать при помощи свечи и органа?
7. Чтобы сварить яйца, надо залить их водой так, чтобы над ними был слой воды в 1 см (яйца тонут в воде). У нас есть кастрюля диаметром 30 см. В каком случае нам понадобится больше воды: для варки одного яйца или трёх?

46 серия. 18 апреля 2011, пн

1. В квадрате 10x10 расставлены числа от 1 до 100. За ход разрешается одно число заменить на среднее арифметическое его соседей и его самого. Может ли через несколько ходов появиться в таблице число 101?
2. Число a делится на 3, а b — на 5. Всегда ли a+b делится на 8?
3. 10 школьников из маленькой школы как-то раз встали в хоровод. Оказалось, что у каждого школьника ровно один из двух его соседей — его одноклассник. Докажите, что в маленькой школе всё же не менее трёх классов.
4. Из пятерых детей некоторые всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. Серёжа сказал Никите, а потом Вите: «Ты правдивый парень». После этого он сказал Саше, а затем Паше: «Ты лгун!». Кем (правдивым или лгуном) назвал бы каждого из остальных детей Паша?
5. Во сколько раз сумма всех чётных чисел от 101 до 200 больше суммы всех чисел от 51 до 100?
6. Разрежьте круг несколькими прямыми на 16 квадратов и 16 неквадратов.
7. Сумма двух натуральных чисел равна 1000. Может ли их произведение равняться 443322?

47 серия. 20—21 апреля 2011, ср—чт

1. Внуку столько же месяцев, сколько лет бабушке. Вместе им 52 года. Сколько лет бабушке?
2. Найдите все решения ребуса Б + БЕЕЕ = МУУУ.
3. В стране 2011 городов, из всех кроме двух выходит по 1000 дорог, а из этих двух выходит по 2011. Путешественник Саша прошёл по все дорогам по одному разу. Докажите, что он начал путешествие из одного из тех двух городов.
4. У малыша Димы есть 4 игральных кубика — красный, жёлтый, зелёный и синий. Он решил бросить их все одновременно, но перед этим посчитать, каких вариантов больше: с хотя бы одной «двойкой» наверху или без «двоек» наверху. Помогите ребёнку ответить на этот вопрос.
5. На одном конце клетчатой полоски из 25 клеток стоит шашка Первого Игрока, а на другом – Второго. Игроки по очереди двигают свою шашку на 1, 2, 3 или 4 клетки в любом направлении. Прыгать через вражескую шашку нельзя. Проигрывает тот, кто не может походить. Придумайте выигрышную стратегию для Первого или Второго Игрока.
6. Саша хочет разрезать доску 100×100 по клеточкам на n прямоугольников. Верно ли, что это можно сделать для любого n от 1 до 10000?
7. Код замка представляет собой слово (не обязательно осмысленное) из 4 букв. Каждое из слов икра, ирак, рика получено из правильного кода перестановкой каких-то двух букв. Каким мог быть правильный код?

48 серия. 25 апреля 2011, пн

1. Не вычисляя суммы 1+2+…+2011, определите её чётность.
2. На секретном складе есть гвозди,  упакованные в ящики по 12, 19 и 40 килограммов (ящиков каждого вида по 100 штук).  Смогут ли похитители взять ровно 100 килограммов гвоздей,  не вскрывая ящики?
3. Два будильника (с циферблатом и стрелкой) показывают 12 часов. Первый спешит на 8 минут в сутки, второй отстает на 4 минуты в сутки. Через какое время в следующий раз они покажут одновременно 12 часов?
4. В 2002 году завод по производству игрушек выпустил 89600 плюшевых слонов. После этого каждый год выпуск слонов увеличивался на 25%. Как долго это могло продолжаться?
5. Из числа 2009 вычли наименьший из его делителей, больших 1. Из полученной разности также вычли наименьший из её делителей, больших 1, и т.д., пока не получился 0. Сколько всего вычитаний было проделано?
6. Назовём клетчатый прямоугольник просторным, если на нём могут поместиться ферзь, ладья и конь, не бьющие друг друга. Какое минимальное количество клеток может быть в просторном прямоугольнике?

49 серия. 27—28 апреля 2011, ср—чт

1. Грузовик едет со скоростью 65 км/ч, а за ним едет легковой автомобиль — со скоростью 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга эти автомобили будут через две минуты после того, как легковой автомобиль догонит грузовик?
2. Покажите, как разрезать произвольный прямоугольник на три части и сложить из них неравнобедренный треугольник.
3. В архипелаге каждый остров соединён мостом ровно с семью другими. Сколько в этом архипелаге островов, если мостов — 84?
4. Используя только цифры 1 и 7 (каждую из них — не более четырёх раз), знаки арифметических действий и скобки, составьте выражение, значение которого равно 2006.
5. Точка В лежит на отрезке АС, причём AB = 2 см, BC = 1 см. На прямой АВ укажите все такие точки М, для которых AM + BM = CM.
6. Женя и Антон учатся в одном классе. У Антона одноклассников вчетверо больше, чем одноклассниц. А у Жени одноклассниц на 17 меньше, чем одноклассников. Кто Женя: девочка или мальчик?
7. Каждый из двух мальчиков, Ваня и Витя, задумал по натуральному числу, возвёл его в куб и вычел задуманное им число. Полученные ими разности оказались одинаковыми. Могло ли так случиться, что Ваня и Витя задумали различные числа?
8. Можно ли разрезать произвольный треугольник на 10 треугольников так, чтобы никакие два из них не имели общей стороны?

50 серия. 4—5 мая 2011, ср—чт

1. На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса?
2. Можно ли гирьки весами 1, …, 2009 граммов разбить на три кучки равного веса?
3. Можно ли выстроить числа от 1 до 100 в ряд (использовав каждое по одному разу) так, чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел была нечётной?
4. Сколько существует вариантов расстановки трёх ладей на шахматной доске при условии, что одна из них бьёт двух других?
5. На математическом конкурсе было предложено несколько простых и несколько сложных задач. Участнику давали 3 очка за решение сложной задачи и 2 очка за решение простой задачи. За каждую нерешённую простую задачу списывалось очко. Рома решил 10 задач и набрал 14 очков. Сколько было простых задач?
6. Как разложить по 7 кошелькам 127 рублёвых монет так, чтобы любую сумму (в рублях) от 1 до 127 рублей можно было выдать не открывая кошельки?
7. Магический квадрат 3х3 составлен из различных натуральных чисел. (У него суммы по строкам равны суммам по столбцам и равны суммам по двум главным диагоналям). Сумма всех чисел в квадрате равна 135. Придумайте хотя бы один такой квадрат.