Седьмой класс, серии 11—20

11 серия.  24 октября 2011, пн

1. Каким количеством способом 1000 можно представить в виде суммы двух нечётных натуральных чисел?
2. На столе лежат в ряд три монеты: орлом вверх, решкой и снова орлом. За один ход разрешается перевернуть две соседние монеты. Можно ли добиться того, чтобы все монеты лежали одинаково?
3. Через одну точку на плоскости проходят 12 прямых. Докажите, что угол между какими-то двумя из них не больше 15 градусов.
4. Петя написал на доске целое число, Вася написал число на 10 больше Петиного, а Маша — на 10 больше Васиного. Может ли ни одно из этих чисел не делиться на три?
5. Калькулятор при нажатии кнопки делает из числа сумму его цифр. Докажите, что за 10 нажатий из любого числа от 1 до миллиона получится цифра.
6. Сколько диагоналей у правильного 36-угольника?
7. Из людей, пришедших на кружок, девочки составляют больше половины, но меньше 60%. Какое минимальное число людей может быть на кружке?
8. Существуют ли несколько чисел, дающих в сумме 1, таких, что сумма их квадратов меньше 0,01?

12 серия.  27 октября 2011, чт

1. Напишите наименьшее натуральное число, в записи которого присутствуют все цифры.
2. Беседовали A и B. A сказал: «Мы оба лжецы». B сказал: «Один из нас — рыцарь». Кто из них кто?
3. Расшифруйте ребус: АРМ=МИР.
4. На реке стоят два города — Верхний и Нижний. Пароход из Верхнего в Нижний доходит за сутки, а из Нижнего в Верхний — за трое суток. За какое время доплывет плот из Верхнего в Нижний?
5. Петя высчитал число 1000!=1·2·3·…·999·1000 и начал последовательно делить результат на 3. Сколько раз он сможет выполнить это деление без остатка?
6. Можно ли квадрат 5×5 обойти ходом коня, побывав на каждой клетке ровно один раз и последним ходом вернувшись в исходную позицию?

13 серия, сложная какая-то.   31 октября 2011, пн

1. Разность двух натуральных чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться 160?
2. Жюри составляет олимпиаду на 5—8 классы (четыре разных варианта). В каждом варианте 7 задач, причём хотя бы 4 задачи каждого варианта не должны встречаться в других вариантах. Какое минимальное количество разных задач может быть на олимпиаде?
3. Сколько есть десятизначных натуральных чисел, в записи которых присутствуют только цифры 0 и 5?
4. В стране Лемниската объявлен конкурс на типовой проект квартиры, предназначенной для заселения одной, двумя, тремя или четырьмя семьями. Требуется, чтобы число комнат в квартире было наименьшим и чтобы во всех случаях жилплощадь можно было поделить поровну (по площади) между вселяемыми семьями. Представьте Ваши предложения относительно числа и размера комнат.
5. Из квадрата а) 4×4; б) 8×8; в) 16×16 вырезали угловую клетку. Докажите, что полученную фигуру всегда можно разрезать на уголки из 3 клеток.
6. На экране компьютера число 123. Компьютер каждую минуту прибавляет к числу на экране 100. Программист Федя может в любой момент изменить число на экране, произвольным образом переставив его цифры. Может ли Федя действовать так, чтобы на экране всегда оставалось трёхзначное число?
7. У некоторого натурального числа больше 2000 натуральных делителей. Докажите, что это число больше 1000000.

14 серия. 14 ноября, пн

1. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трёх сортов, причём в каждом ящике лежат яблоки одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?
2. Десять английских джентльменов решили организовать новый клуб. Для этого все внесли поровну денег. Если бы джентльменов было на 5 больше, то каждый внёс бы на 100 фунтов стерлингов меньше. Какую сумму внёс каждый из джентльменов?
3. Напишите по кругу три единицы, три двойки и четыре тройки так, чтобы сумма любых трёх подряд идущих цифр не делилась на 3.
4. Поликарп, вместо того чтобы умножить на 4 и прибавить 15, умножил на 15 и прибавил 4, однако получил правильный ответ. Какое было исходное число?
5. В куче лежит 25 камней. Двое по очереди берут из неё 1, 2 или 3 камня. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может обеспечить себе победу и как для этого он должен играть?
6. Сколько чисел от 1 до 1000 делятся на 11 или 13?
7. Существует ли десятиугольник, все стороны которого лежат на пяти прямых?

15 серия.   17 октября 2011, чт

1. Расставьте в клетках квадрата 4 на 4 клетки плюсы и минусы так, чтобы у любого минуса в соседних с ним по сторонам клетках было ровно три плюса, а у любого плюса в соседних с ним по сторонам клетках был ровно один минус.
2. Можно ли на прямой отметить точки A, B, C, D, E так, чтобы расстояния между ними в сантиметрах оказались равны: AB=5, BC=4, CD=8, DE=6, AE=6?
3. Когда папе было 37 лет, сыну было 3 года, а сейчас папа в три раза старше сына. Сколько сейчас лет каждому?
4. За круглым столом сидят 100 человек, из них 51 лысый. Докажите, что какие-то двое лысых сидят друг напротив друга.
5. Сколько квадратов со сторонами по линиям сетки можно нарисовать на доске 8×8?
6. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, чёрный, синий и зелёный шары?
7. В последовательности Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Могут ли в этой последовательности встретиться подряд два числа, кратных 2011?

16 серия. 21 ноября, пн

1. Существует ли такое целое число, которое при зачеркивании первой цифры уменьшается в 10 раз?
2. На доске 25 на 25 клеточек поставлены 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.
3. Существует ли целое число, произведение цифр которого равно 1980?
4. Перечислите все числа от 1 до 500, у которых ровно три натуральных делителя.
5. В городе Глупове живут только полицейские, воры и обыватели. Полицейские всегда врут обывателям, воры — полицейским, а обыватели — ворам. Во всех остальных случаях жители Глупова говорят правду. Однажды несколько глуповцев водили хоровод и каждый сказал своему правому соседу: «Я — полицейский». Сколько обывателей было в этом хороводе?
6. Расставьте между некоторыми из цифр 123456789 знаки действий и скобки так, чтобы результат равнялся 2011.

17 серия. 24 ноября, чт

1. Сколькими способами можно развесить таблички с номерами на четырёх купе, чтобы при этом только две таблички висели на правильных купе?
2. Существуют ли такие натуральные числа a и b, что a·b·(a-b)=54321?
3. На доске написано число 1. Разрешается к имеющемуся числу прибавить 4 или умножить его на 3. Можно ли получить число 2012?
4. За круглым столом сидят 100 человек, из них 51 лысый. Докажите, что напротив какого-то лысого сидит волосатый.
5. Докажите, что в любой компании из 15 человек есть двое, имеющих одинаковое число знакомых в этой компании.
6. Даны точки A и B на расстоянии 10 друг от друга. Сколько существует точек M таких, что MB=9, а угол MAB равен 30 градусам?
7. Найдите три различных натуральных числа, произведение любых двух из которых делится на третье.

18 серия. 28 ноября, пн

1. Существуют ли два разных числа, кратных 13, разность которых кратна 11?
2. Сколько существует четырёхзначных чисел, у которых первая цифра меньше второй?
3. Юра задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, опять зачеркнул последнюю цифру результата и получил число 21. Какое число задумал Юра?
4. Предприимчивый Георгий купил на рынке партию ручек и предлагает одноклассникам либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей, потому что хочет от каждого покупателя получить одинаковую прибыль. А за сколько рублей в таком случае нужно продавать 5 ручек?
5. У Димы есть 16 камней. Он разбил их на четыре кучки по 4 камня. С помощью весов он нашёл самую тяжёлую кучку, а потом — самый тяжёлый камень в этой кучке. а) Верно ли, что найденный камень — самый тяжёлый из всех 16 камней? б) Верно ли, что он тяжелее хотя бы половины из них?
6. Каково наименьшее число n такое, что n! делится на 666? Напомним, что n!=1·2·…·n.
7. Можно ли расставить в вершинах треугольной призмы шесть каких-либо положительных чисел так, чтобы суммы чисел на всех пяти ее гранях были одинаковы?

19 серия. 1 декабря, чт

1. Бог послал вороне кусочек сыра. Ворона съела треть кусочка, а остальные 300 г достались лисе. Сколько весил кусочек вначале?
2. В ребусах одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами, а разные — разными. Имеет ли решение ребус КАР+КРЯ=КУКУ?
3. Известно, что КАР+КРЯ=ГАВ. Каково минимально возможное значение числа ГАВ?
4. Стая гусей летела над озёрами. На каждом озере садилась половина гусей и ещё полгуся. Все гуси расселись на семи озёрах. Сколько было гусей?
5. У царя есть тысяча фазанов, и у всех у них вместе сто тысяч перьев (у царя перьев нет). Доказать, что найдутся три фазана с равным числом перьев.
6. (Древняя китайская задача) Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся?
7. По кругу растут 44 дерева, на них сидит 44 чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседнее дерево в противоположные стороны. Докажите, что все чижи не могут собраться на одном дереве.

20 серия. 5 декабря, пн

1. Можно ли таблицу 6 на 6 заполнить числами так, чтобы сумма чисел в любой строке была положительной, а сумма чисел в любом столбце — отрицательной?
2. Можно ли таблицу 6 на 6 заполнить числами так, чтобы произведение чисел в любой строке было положительным, а произведение чисел в любом столбце — отрицательным?
3. Вася взял длинную полоску бумаги и согнул ее гармошкой в 15 слоёв. Затем развернул ее и сложил теперь гармошку из 21 слоя. Сколько линий сгиба образовалось на полоске?
4. Из 2007 монет две фальшивые, при этом одинаковые по весу. За три взвешивания выясните, легче они настоящих или тяжелее.
5. В вершинах кубика написаны числа — в одной единица, а в остальных нули. Можно прибавлять единицу ко всем числам в вершинах одной грани одновременно. Можно ли получить все чётные числа?
6. Можно ли квадрат разрезать на 2011 квадратиков?
7. На пост президента страны объявлено 10 кандидатов. Каждый день предвыборной кампании один из кандидатов по телевидению объявляет преступником другого кандидата, того, кого он не объявлял ранее. Математик Коля знает это, но, естественно, не следит за тем, кто кого обвиняет. Через сколько дней после начала кампании Коля может точно утверждать, что найдутся два кандидата, обвинившие друг друга?