Седьмой класс, серии 1—10

1 серия.  19 сентября 2011, пн

1. На прямой дороге расположены (по порядку) деревни А, Б и В, в которых живёт соответственно 10, 15 и 30 школьников. В каком месте нужно построить школу, чтобы сумма расстояний, ежедневно проходимых школьниками из дома в школу и обратно, была минимальной?
2. Из доски 8×8 вырезали центральный квадрат 4×4. Можно ли полученную фигуру разрезать на Т-тетрамино?
3. Вася выписал все числа от одного до миллиона, которые можно представить в виде суммы квадрата какого-то натурального числа и куба какого-то натурального числа. Ответьте, он выписал больше 250000 чисел или меньше?
4. Сколько существует семизначных чисел, которые оканчиваются на 4 и делятся на 4?
5. У какого числа больше натуральных делителей: у числа 60 или у числа 350?
6. У Насти есть сто разных по размеру гирь. Она знает, что чем гиря больше, тем она тяжелее, но не знает, на сколько именно. Докажите, что она может выкладывать эти гири на двухчашечные весы в таком порядке, чтобы все время перевешивала левая чашка и лишь в конце перевесила правая.
7. На прямой расположены точки A, B, C и D. При этом середины отрезков AB и CD совпадают. Докажите, что AC=BD.

2 серия.  22 сентября 2011, чт

1. На поляне за селом ребята пасут лошадей. Если пересчитать ноги лошадей и ребят, то получится 74, а если пересчитать головы — 22. Сколько пасется коней и сколько всего ребят?
2. Найдите три таких последовательных числа, каждое из которых делится на квадрат какого-нибудь натурального числа, большего 1.
3. Можно ли придумать 20 чисел, у которых произведение равно 267823, а сумма 3483?
4. Докажите, что шестизначное число вида xyzxyz обязательно делится на 77.
5. Двое игроков кладут одинаковые круглые монеты на прямоугольный стол; монеты могут свешиваться за край (но не должны падать) и не могут перекрываться. Кто не может положить монету, проигрывает. (Сдвигать ранее положенные монеты нельзя.) Придумайте для одного из игроков (первого или второго) стратегию, которая позволит обыграть ему даже самого хитрого соперника (но и глупого тоже!).
6. В строчку написано несколько минусов. Два игрока по очереди переправляют один или два соседних минуса на плюс; выигрывает переправивший последний минус. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?
7. Квадратное поле разбито на 100 одинаковых квадратных участков, 10 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год разрастается только на те участки, у каждого из которых не менее двух соседей заросли бурьяном (соседними считаются участки, имеющие общую сторону). (а) Может ли через 10 лет поле полностью зарости бурьяном? (б) А может ли через 100 лет не зарости?

 3 серия.  26 сентября 2011, пн

1. Диагональ  делит четырёхугольник с периметром 31 см на два треугольника с периметрами 21 см и 30 см. Чему равна длина этой диагонали?
2. Можно ли прямоугольник 55×39 разрезать на прямоугольники 5×11?
3. Есть гири массами 1, 2, ..., 2014. Можно ли их разделить на 2 равные кучи?
4. Какое максимальное количество слонов можно выставить на шахматной доске, так чтобы на каждой диагонали было не более двух слонов?
5. Всё население одного далёкого острова составляют карабасы и барабасы. Выясните, кого из них больше, если каждый карабас знаком с 6 карабасами и 9 барабасами, а каждый барабас знаком с 10 карабасами и 7 барабасами.
6. Все целые числа от 1 до 10 включительно расположили в произвольном порядке, затем каждое сложили с номером места, на котором оно стоит. Доказать, что хотя бы у двух из полученных сумм последние цифры совпадают.
7. Найдите наибольшее возможное стозначное число, десятичная запись которого состоит из 50 единиц и 50 двоек, причём никакие четыре соседние цифры этого числа не образуют число 2111.

4 серия.  29 сентября 2011, чт

1. На переменке 10 детей стоят по кругу. Каждый из них заявил: «У меня больше игрушек, чем у одного из моих соседей». Докажите, что кто-то из них не умеет считать.
2. Шоколадку 6×6 ломают на дольки по прямым линиям. Сколько раз придётся ломать, пока получится 36 отдельных долек?
3. Влад придумал 7 целых чисел. Может ли случиться, что у всех этих чисел квадраты заканчиваются на разные цифры?
4. Разрежьте по клеточкам прямоугольник 3×9 на 8 квадратов.
5. Докажите, что 1+3+5+7+9+...+2007+2009+2011 = 1006 ².
6. Квартира состоит из 9 комнат, расположенных в виде квадрата 3×3. Между каждыми двумя соседними комнатами есть дверь; изначально все двери заперты. В одной из комнат сидит котёнок. Какое минимальное число дверей надо открыть, чтобы котёнок мог гулять по всей квартире?
7. По кругу написано несколько минусов. Два игрока по очереди переправляют один или два соседних минуса на плюс; выигрывает переправивший последний минус. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?

5 серия (садово-огородная).  2 октября 2011, пн

1. 11 ребят собрали 77 яблок, причём 7 девочек набрали поровну яблок, а 4 мальчика – тоже поровну, но побольше. Кто сколько яблок собрал?
2. Ваня закупает коробки для сбора урожая. Он хочет найти такие коробки, у которых четыре грани квадратные, а две – не квадратные. Удастся ли ему это?
3. Миша, чтобы прижимать плёнку на парнике, использует камни, которые можно разделить как на 4 кучки равного веса, так и на 6 кучек равного веса. Какое минимальное число камней у него может быть?
4. На участке размером 20×30 метров растёт 50 деревьев (можно считать их точками). Верно ли, что найдётся квадрат 5×5 метров, на котором (включая границу) растёт хотя бы три дерева?
5. (Задача Пуассона. Непьющие могут считать её задачей про компот.) Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить кому-то половину. Но у него есть только два сосуда – один в 5 пинт, а другой в 8 пинт. Как ему налить 6 пинт  в 8-пинтовый сосуд?
6. Один торговец продает сливы по 150 рублей за килограмм, а второй – по 100. Но у первого косточка занимает треть веса каждой сливы, а у второго – половину. Чьи сливы выгоднее покупать?
7. (По мотивам разминки. Часть пунктов мы уже решили.) На участке 10×10 клеток можно размещать (по клеткам) грядки 3×3 клетки. Отец попросил сына вскопать столько грядок, чтобы новую грядку уже невозможно было разместить. Ленивый сын хочет отделаться как можно меньшим количеством грядок.
   а) Докажите, что сын может отделаться четырьмя грядками.
   б) Отец хочет заставить сына работать больше, но для этого отцу придётся сначала поработать самому. Может ли отец вскопать несколько грядок так, чтобы сыну пришлось копать ещё хотя бы 5 грядок?
   в) Может ли отец, предварительно вскопав только одну грядку, заставить сына работать больше?
   г) А если не одну, а две?

6 серия.  6 октября 2011, чт

1. Когда 100 философов собрались вместе, выяснилось, что среди любых двух из них есть человек, хотя бы раз сказавший неправду. Сколько среди всех философов могло быть абсолютно честных людей?
2. В поезде 21 вагон. Вагоны бывают трёх типов (плацкартный, купейный и СВ) и шести цветов. Докажите, что в поезде есть два вагона одного типа и одного цвета.
3. Что больше: 2 199 или 4 99 ?
4. Расставьте в вершинах треугольника и в серединах его сторон числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы сумма любых трёх чисел, расставленных вдоль одной стороны, была одной и той же и возможно меньшей.
5. Каких трамвайных билетов больше: с чётной суммой цифр или с нечётной? (Трамвайные билеты бывают от 000000 до 999999.)
6. Сколькими нулями заканчивается произведение чисел от 1 до 20?
7. В десятичной записи двух натуральных чисел участвуют только цифры 1, 4, 6, 9 (в любом количестве). Может ли одно из них быть ровно в 17 раз больше другого?

7 серия.  10 октября 2011, пн

1. Докажите, что из любых трёх чисел можно выбрать два, разность которых чётна.
2. Сенька купил шапку, которая стоит целое число рублей. Сколько стоит эта шапка, если 10 таких шапок дороже 1100 рублей, а 9 шапок — дешевле 1000 рублей?
3. Придумайте три такие цифры (отличные от 0 и 9), что после увеличения каждой цифры на 1 их произведение увеличивается вдвое.
4. Вася положил на счет в банке 3 рубля. Каждый день на его счёт добавляется количество рублей, равное сумме цифр текущего счёта. Когда Вася пришел забирать вклад, ему выдали ровно 1000 рублей. Докажите, что его обсчитали.
5. На слёте инопланетян встретились 2011 марсиан. У каждого марсианина имеется 3 руки. Могут ли они взяться за руки так, чтобы не осталось ни одной свободной руки (в каждом рукопожатии участвуют две руки)?
6. На окружности отмечено 20 точек. Карик и Валя играют в игру. За один ход можно провести отрезок между двумя точками так, чтобы он не пересекался с уже проведёнными отрезками. Проигрывает тот, кто не может сделать ход, а первым ходит Карик. Придумайте для кого-нибудь из них выигрышную стратегию, то есть способ, позволяющий ему выиграть при любом поведении соперника.

8 серия.  13 октября 2011, чт

1. Дядя Скрудж задумал число. Сначала он прибавил к нему 1, потом полученную сумму разделил на 2, а затем отнял 4. Получилось 3. Любимые племянники тут же огорчили своего дядю, сказав ему первоначальное число. Какое же число он задумал?
2. Лёня, Дима и Миша имеют фамилии Леонидов, Дмитриев и Михайлов. У кого какая фамилия, если Дима, Миша и Дмитриев получили сегодня двойки, а Миша и Михайлов вчера подрались на перемене?
3. На острове Далёкий живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды ночью возле костра сидел Одинокий Лжец. К нему из темноты подошли ещё два аборигена острова Далёкий. Он посмотрел на них проницающим взором и мудро произнёс одному из них: «Если спросить тебя о твоём товарище, ты будешь утверждать, что он рыцарь». Сколько лжецов теперь находятся возле костра?
4. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных нечётных чисел?
5. Расставьте в клетках квадрата 5×5 плюсы и минусы так, чтобы в любом квадрате 3×3 оказалось ровно 8 минусов.
6. В стоэтажном доме сломался новейший лифт, и теперь в нём работают всего 2 кнопки: «на 5 этажей вверх» и «на 7 этажей вниз». Докажите, что на этом лифте всё ещё можно попасть с первого этажа на любой другой.
7. Некоторое число даёт остаток 11 при делении на 12 и остаток 12 при делении на 13. Какой остаток даёт это число при делении на 156?

9 серия.  17 октября 2011, пн

1. Внутри квадрата нарисуйте три окружности так, чтобы квадрат разбился на 7 частей.
2. Три курицы за три дня несут три яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?
3. В стране 20 городов. Некоторые из них соединены авиалиниями. Может ли из каждого города выходить нечётное количество авиалиний?
4. На корабле плывут 200 пиратов. Из них 75 — без глаза, 50 — без руки и 50 — без ноги. Какое наибольшее количество здоровых пиратов может быть на корабле?
5. Лёша хочет придумать шесть натуральных чисел так, чтобы разность любых двух из этих чисел не делилась на 5. Сможет ли он добиться успеха?
6. Из шахматной доски вырезали две клетки одного цвета. Докажите, что оставшуюся часть нельзя разрезать на доминошки.
7. Разрежьте какой-нибудь квадрат на квадратики двух разных размеров так, чтобы маленьких было столько же, сколько и больших.

10 серия.  20 октября 2011, чт

1. Одно число получается из другого перестановкой цифр. Может ли их сумма состоять из одних семёрок?
2. Два игрока играют в игру: каждый называет какое-нибудь двузначное число, причём повторяться нельзя. Проигрывает тот, кто не может сходить. Кто из игроков — первый или второй — может выиграть независимо от игры соперника?
3. Галстук стоит 19 рублей. Может ли покупатель расплатиться, если у него есть только 3-рублёвые купюры, а у продавца — только 5-рублёвые?
4. У императора украли перец. Как известно, те, кто крадёт перец, всегда лгут. Пресс-секретарь заявил, что знает, кто украл перец. Виновен ли он?
5. а) Сколько существует различных чисел, из которых можно вычёркиванием одной цифры получить число 111? б) То же для числа 123.
6. По кругу высажен 1001 куст малины. Может ли количество ягод на любых двух соседних кустах отличаться ровно на 1?
7. Изобразите на плоскости несколько точек и соедините их непересекающимися отрезками так, чтобы из каждой точки выходило ровно 4 отрезка.